Номер 7.21, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.21. Упростите:

1) $ \frac{y - \frac{1}{y}}{\frac{1}{y} + 1} $; 2) $ \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{xy}} $.

1) $\frac{y-\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+1}$

Для упрощения этого выражения, мы сначала преобразуем числитель и знаменатель в простые дроби, приведя их к общему знаменателю.

Числитель: $y-\frac{1}{y} = \frac{y \cdot y}{y} - \frac{1}{y} = \frac{y^2 - 1}{y}$.

Знаменатель: $\frac{1}{y}+1 = \frac{1}{y} + \frac{y}{y} = \frac{1 + y}{y}$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{y^2-1}{y}}{\frac{1+y}{y}}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{y^2 - 1}{y} \cdot \frac{y}{1 + y}$

Сокращаем $y$ в числителе и знаменателе:

$\frac{y^2 - 1}{1 + y}$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:

$\frac{(y-1)(y+1)}{y+1}$

Сокращаем $(y+1)$:

$y-1$

Ответ: $y-1$.

2) $\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{xy}}$

Сначала упростим числитель, приведя дроби к общему знаменателю $xy$.

Числитель: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$.

Теперь подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:

$\frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{1}{xy}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{x+y}{xy} \cdot \frac{xy}{1}$

Сокращаем $xy$ в числителе и знаменателе:

$x+y$

Ответ: $x+y$.