Номер 7.16, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.11-7.17 выполните вычисления.

7.16. 1) $[x(x+2y)+y^2] \cdot [x^2-y(2x-y)] : [(x-y)(x+y)];$

2) $(8a^3-0.027):(2a-0.3)-(a+1)^2$

1) Требуется выполнить вычисление: $[x(x+2y)+y^2] \cdot [x^2-y(2x-y)] : [(x-y)(x+y)]$.

Для решения задачи упростим поочередно выражения в каждой из квадратных скобок, используя формулы сокращенного умножения.

1. Упростим первое выражение: $x(x+2y)+y^2$.

Раскроем скобки: $x \cdot x + x \cdot 2y + y^2 = x^2+2xy+y^2$.

Полученное выражение является полным квадратом суммы. Свернем его по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$.

2. Упростим второе выражение: $x^2-y(2x-y)$.

Раскроем скобки: $x^2 - y \cdot 2x - y \cdot (-y) = x^2-2xy+y^2$.

Это полный квадрат разности. Свернем его по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$.

3. Третье выражение $(x-y)(x+y)$ уже представляет собой свернутую формулу разности квадратов: $x^2-y^2$. Оставим его в виде произведения для удобства последующего сокращения.

4. Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$(x+y)^2 \cdot (x-y)^2 : ((x-y)(x+y))$.

Запишем операцию деления в виде дроби:

$\frac{(x+y)^2 \cdot (x-y)^2}{(x-y)(x+y)}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители $(x+y)$ и $(x-y)$, при условии, что $x \neq -y$ и $x \neq y$:

$\frac{(x+y) \cdot (x+y) \cdot (x-y) \cdot (x-y)}{(x-y) \cdot (x+y)} = (x+y)(x-y)$

Применив формулу разности квадратов, получим окончательный результат:

$(x+y)(x-y) = x^2-y^2$.

Ответ: $x^2-y^2$.

2) Требуется выполнить вычисление: $(8a^3-0,027):(2a-0,3)-(a+1)^2$.

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций: сначала деление, затем вычитание.

1. Рассмотрим частное $(8a^3-0,027):(2a-0,3)$.

Выражение в скобках $8a^3-0,027$ является разностью кубов, так как $8a^3 = (2a)^3$ и $0,027 = (0,3)^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$:

$8a^3-0,027 = (2a)^3-(0,3)^3 = (2a-0,3)((2a)^2+2a \cdot 0,3+(0,3)^2) = (2a-0,3)(4a^2+0,6a+0,09)$.

Теперь выполним деление:

$\frac{(2a-0,3)(4a^2+0,6a+0,09)}{2a-0,3} = 4a^2+0,6a+0,09$ (при условии, что $2a-0,3 \neq 0$, то есть $a \neq 0,15$).

2. Раскроем квадрат суммы $(a+1)^2$ по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(a+1)^2 = a^2+2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2+2a+1$.

3. Теперь подставим результаты шагов 1 и 2 в исходное выражение и выполним вычитание:

$(4a^2+0,6a+0,09) - (a^2+2a+1)$.

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых во второй скобке на противоположные:

$4a^2+0,6a+0,09 - a^2-2a-1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4a^2-a^2) + (0,6a-2a) + (0,09-1) = 3a^2 - 1,4a - 0,91$.

Ответ: $3a^2 - 1,4a - 0,91$.