Номер 7.13, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.11-7.17 выполните вычисления.

7.13. 1) $ (\frac{b^2xy}{9a^5} : \frac{7xy}{12a^5}) \cdot \frac{28a^4}{3b^2} $

2) $ \frac{3mx^2y}{2a^2b^2} \cdot \frac{3abc}{8p^2q^2} : \frac{9a^2b^2c^3}{28xpq} $

1) Исходное выражение: $\left( \frac{b^2xy}{9a^5} : \frac{7xy}{12a^5} \right) \cdot \frac{28a^4}{3b^2}$.

Сначала выполним действие в скобках. Деление одной дроби на другую эквивалентно умножению первой дроби на дробь, обратную второй:

$\frac{b^2xy}{9a^5} : \frac{7xy}{12a^5} = \frac{b^2xy}{9a^5} \cdot \frac{12a^5}{7xy}$

Объединим в одну дробь и сократим общие множители. В числителе и знаменателе есть $xy$ и $a^5$, которые можно сократить. Также сократим числовые коэффициенты $9$ и $12$ на их общий делитель $3$:

$\frac{b^2 \cdot xy \cdot 12 \cdot a^5}{9 \cdot a^5 \cdot 7 \cdot xy} = \frac{b^2 \cdot 12}{9 \cdot 7} = \frac{b^2 \cdot 4}{3 \cdot 7} = \frac{4b^2}{21}$

Теперь умножим результат, полученный в скобках, на вторую дробь:

$\frac{4b^2}{21} \cdot \frac{28a^4}{3b^2} = \frac{4b^2 \cdot 28a^4}{21 \cdot 3b^2}$

Сократим общие множители $b^2$. Также сократим числовые коэффициенты $21$ и $28$ на их общий делитель $7$:

$\frac{4 \cdot 28a^4}{21 \cdot 3} = \frac{4 \cdot (4 \cdot 7)a^4}{(3 \cdot 7) \cdot 3} = \frac{4 \cdot 4a^4}{3 \cdot 3} = \frac{16a^4}{9}$

Ответ: $\frac{16a^4}{9}$.

2) Исходное выражение: $\frac{3mx^2y}{2a^2b^2} \cdot \frac{3abc}{8p^2q^2} : \frac{9a^2b^2c^3}{28xpq}$.

Действия с дробями выполняются последовательно. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь. Таким образом, все выражение можно представить в виде произведения трех дробей:

$\frac{3mx^2y}{2a^2b^2} \cdot \frac{3abc}{8p^2q^2} \cdot \frac{28xpq}{9a^2b^2c^3}$

Запишем все множители в один числитель и один знаменатель:

$\frac{3mx^2y \cdot 3abc \cdot 28xpq}{2a^2b^2 \cdot 8p^2q^2 \cdot 9a^2b^2c^3}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные, чтобы упростить сокращение:

$\frac{(3 \cdot 3 \cdot 28) \cdot (a) \cdot (b) \cdot (c) \cdot (m) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y) \cdot (p) \cdot (q)}{(2 \cdot 8 \cdot 9) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b^2) \cdot (c^3) \cdot (p^2) \cdot (q^2)}$

Выполним умножение коэффициентов и сложение показателей степеней для одинаковых оснований:

$\frac{252 \cdot abc m x^3 y p q}{144 \cdot a^4 b^4 c^3 p^2 q^2}$

Теперь сократим дробь. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{252}{144} = \frac{7 \cdot 36}{4 \cdot 36} = \frac{7}{4}$.

Сократим переменные, используя правило вычитания показателей степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{a}{a^4} = a^{1-4} = a^{-3} = \frac{1}{a^3}$

$\frac{b}{b^4} = b^{1-4} = b^{-3} = \frac{1}{b^3}$

$\frac{c}{c^3} = c^{1-3} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}$

$\frac{p}{p^2} = p^{1-2} = p^{-1} = \frac{1}{p}$

$\frac{q}{q^2} = q^{1-2} = q^{-1} = \frac{1}{q}$

Переменные $m, x^3, y$ остаются в числителе.

Соберем итоговую дробь из полученных частей:

$\frac{7mx^3y}{4a^3b^3c^2pq}$

Ответ: $\frac{7mx^3y}{4a^3b^3c^2pq}$.