Номер 7.20, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.20. Упростите:

1) $(\frac{m}{m+1} + 1) : \left(1 - \frac{3m^2}{1-m^2}\right)$

2) $\left(\frac{2x+1}{2x-1} - \frac{2x-1}{2x+1}\right) \cdot \frac{10x-5}{4x}$

1) $(\frac{m}{m+1}+1):(\1-\frac{3m^2}{1-m^2})$

Сначала упростим выражение в каждой из скобок.

1. Упростим первое выражение в скобках. Приведем к общему знаменателю $m+1$:

$\frac{m}{m+1}+1 = \frac{m}{m+1}+\frac{m+1}{m+1} = \frac{m+m+1}{m+1} = \frac{2m+1}{m+1}$

2. Упростим второе выражение в скобках. Приведем к общему знаменателю $1-m^2$:

$1-\frac{3m^2}{1-m^2} = \frac{1-m^2}{1-m^2}-\frac{3m^2}{1-m^2} = \frac{1-m^2-3m^2}{1-m^2} = \frac{1-4m^2}{1-m^2}$

3. Теперь выполним деление. Деление дробей заменяется умножением на перевернутую дробь:

$(\frac{2m+1}{m+1}):(\frac{1-4m^2}{1-m^2}) = \frac{2m+1}{m+1} \cdot \frac{1-m^2}{1-4m^2}$

4. Разложим числитель и знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$1-m^2 = (1-m)(1+m)$

$1-4m^2 = (1-2m)(1+2m)$

Подставим разложенные выражения в нашу дробь:

$\frac{2m+1}{m+1} \cdot \frac{(1-m)(1+m)}{(1-2m)(1+2m)}$

5. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Учитывая, что $1+m=m+1$ и $1+2m=2m+1$:

$\frac{\cancel{2m+1}}{\cancel{m+1}} \cdot \frac{(1-m)(\cancel{m+1})}{(1-2m)(\cancel{2m+1})} = \frac{1-m}{1-2m}$

Ответ: $\frac{1-m}{1-2m}$.

2) $(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1}) \cdot \frac{10x-5}{4x}$

Сначала упростим выражение в скобках, а затем выполним умножение.

1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(2x-1)(2x+1)$:

$\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1} = \frac{(2x+1)(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)} - \frac{(2x-1)(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{(2x+1)^2 - (2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)}$

2. Раскроем числитель, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=2x+1$ и $b=2x-1$:

$(2x+1)^2 - (2x-1)^2 = ((2x+1)-(2x-1))((2x+1)+(2x-1)) = (2x+1-2x+1)(2x+1+2x-1) = (2)(4x) = 8x$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)}$

3. Теперь выполним умножение. Вынесем общий множитель в числителе второй дроби:

$\frac{10x-5}{4x} = \frac{5(2x-1)}{4x}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \frac{5(2x-1)}{4x}$

4. Сократим одинаковые множители. Множитель $(2x-1)$ сокращается. Также можно сократить $8x$ и $4x$:

$\frac{\cancel{8x}^2}{(\cancel{2x-1})(2x+1)} \cdot \frac{5(\cancel{2x-1})}{\cancel{4x}_1} = \frac{2 \cdot 5}{2x+1} = \frac{10}{2x+1}$

Ответ: $\frac{10}{2x+1}$.