Номер 7.23, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.23. Объясните, какое из чисел больше:

1) $a^2$ или $\frac{1}{a^2}$ при $a>1$ и при $0<a<1$;

2) $a^2$ или $a^3$ при $a>1$ и при $a<1$.

1) Для сравнения чисел $a^2$ и $\frac{1}{a^2}$ рассмотрим два случая, описанных в условии.

Случай, когда $a > 1$:

Если число $a$ больше единицы, то его квадрат $a^2$ будет также больше единицы (например, если $a=2$, то $a^2=4$). В то же время, если $a > 1$, то его обратное число $0 < \frac{1}{a} < 1$, и квадрат этого числа $\frac{1}{a^2}$ будет тем более меньше единицы. Таким образом, мы сравниваем число, которое заведомо больше 1 ($a^2$), с числом, которое заведомо меньше 1 ($\frac{1}{a^2}$). Очевидно, что $a^2 > \frac{1}{a^2}$.

Случай, когда $0 < a < 1$:

Если число $a$ находится в интервале от 0 до 1, то его квадрат $a^2$ будет меньше 1 (например, если $a=0.5$, то $a^2=0.25$). В то же время, если $0 < a < 1$, то обратное ему число $\frac{1}{a}$ будет больше 1, и его квадрат $\frac{1}{a^2}$ будет тем более больше 1. В этом случае мы сравниваем число, меньшее 1 ($a^2$), с числом, большим 1 ($\frac{1}{a^2}$). Следовательно, $\frac{1}{a^2} > a^2$.

Ответ: при $a>1$ больше число $a^2$; при $0<a<1$ больше число $\frac{1}{a^2}$

2) Для сравнения чисел $a^2$ и $a^3$ рассмотрим их разность: $a^3 - a^2$.

Вынесем за скобки общий множитель $a^2$, получим: $a^3 - a^2 = a^2(a-1)$.

Так как по условию $a$ не равно нулю, множитель $a^2$ всегда положителен. Это означает, что знак всей разности совпадает со знаком выражения $(a-1)$.

Случай, когда $a > 1$:

В этом случае выражение $(a-1)$ будет положительным. Так как оба множителя, $a^2$ и $(a-1)$, положительны, их произведение $a^2(a-1)$ также будет положительным. Следовательно, $a^3 - a^2 > 0$, что означает $a^3 > a^2$.

Случай, когда $a < 1$ (подразумевая, как и в первом пункте, что $a>0$, т.е. $0 < a < 1$):

В этом случае выражение $(a-1)$ будет отрицательным. Произведение положительного числа $a^2$ и отрицательного $(a-1)$ будет отрицательным. Следовательно, $a^3 - a^2 < 0$, что означает $a^3 < a^2$.

Ответ: при $a>1$ больше число $a^3$; при $a<1$ (и $a>0$) больше число $a^2$.