Номер 7.30, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.30. Упростите выражение:

1) $\frac{28^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$;

2) $\frac{90^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{28^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$, разложим основание степени 28 в числителе на простые множители: $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\frac{(2^2 \cdot 7)^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$

Используя свойство степени произведения $(ab)^x = a^x b^x$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем числитель:

$(2^2 \cdot 7)^{n+1} = (2^2)^{n+1} \cdot 7^{n+1} = 2^{2(n+1)} \cdot 7^{n+1} = 2^{2n+2} \cdot 7^{n+1}$.

Теперь дробь примет вид:

$\frac{2^{2n+2} \cdot 7^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{2n+2}}{2^{2n+1}} \cdot \frac{7^{n+1}}{7^n} = 2^{(2n+2) - (2n+1)} \cdot 7^{(n+1) - n} = 2^{2n+2-2n-1} \cdot 7^{n+1-n} = 2^1 \cdot 7^1 = 14$.

Ответ: 14

2) Для упрощения выражения $\frac{90^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$, разложим основание степени 90 в числителе на простые множители: $90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 2 \cdot 5$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\frac{(2 \cdot 3^2 \cdot 5)^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$

Используя свойство степени произведения $(abc)^x = a^x b^x c^x$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем числитель:

$(2 \cdot 3^2 \cdot 5)^{n+1} = 2^{n+1} \cdot (3^2)^{n+1} \cdot 5^{n+1} = 2^{n+1} \cdot 3^{2(n+1)} \cdot 5^{n+1} = 2^{n+1} \cdot 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}$.

Теперь дробь примет вид:

$\frac{2^{n+1} \cdot 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{n+1}}{2^n} \cdot \frac{3^{2n+2}}{3^{2n}} \cdot \frac{5^{n+1}}{5^n} = 2^{(n+1)-n} \cdot 3^{(2n+2)-2n} \cdot 5^{(n+1)-n} = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Вычислим полученное произведение:

$2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

Ответ: 90