Номер 7.36, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.36. Выполните действия:

1) $\frac{m^2-5m+6}{m^2+7m+12} \cdot \frac{m^2+3m}{m^2-4m+4};$

2) $\frac{a^2+2a-3}{a^2+3a-10} : \frac{a^2+7a+12}{a^2-9a+14}.$

1) $\frac{m^2-5m+6}{m^2+7m+12} \cdot \frac{m^2+3m}{m^2-4m+4}$

Для выполнения умножения дробей необходимо разложить на множители числители и знаменатели каждой дроби.

Разложим на множители квадратный трехчлен $m^2-5m+6$. Для этого решим уравнение $m^2-5m+6=0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни равны $m_1=2$ и $m_2=3$. Следовательно, $m^2-5m+6 = (m-2)(m-3)$.

Разложим на множители квадратный трехчлен $m^2+7m+12$. Решим уравнение $m^2+7m+12=0$. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение равно 12. Корни равны $m_1=-3$ и $m_2=-4$. Следовательно, $m^2+7m+12 = (m-(-3))(m-(-4)) = (m+3)(m+4)$.

Разложим на множители выражение $m^2+3m$. Вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m^2+3m = m(m+3)$.

Разложим на множители квадратный трехчлен $m^2-4m+4$. Это формула квадрата разности: $m^2-4m+4 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = (m-2)^2$.

Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:

$\frac{(m-2)(m-3)}{(m+3)(m+4)} \cdot \frac{m(m+3)}{(m-2)^2}$

Теперь выполним умножение и сократим общие множители $(m-2)$ и $(m+3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(m-2)(m-3) \cdot m(m+3)}{(m+3)(m+4) \cdot (m-2)^2} = \frac{\cancel{(m-2)}(m-3) \cdot m\cancel{(m+3)}}{\cancel{(m+3)}(m+4) \cdot (m-2)^{\cancel{2}}} = \frac{m(m-3)}{(m+4)(m-2)}$

Ответ: $\frac{m(m-3)}{(m+4)(m-2)}$

2) $\frac{a^2+2a-3}{a^2+3a-10} : \frac{a^2+7a+12}{a^2-9a+14}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{a^2+2a-3}{a^2+3a-10} \cdot \frac{a^2-9a+14}{a^2+7a+12}$

Теперь разложим на множители все числители и знаменатели, используя теорему Виета для нахождения корней квадратных трехчленов.

Для $a^2+2a-3=0$: сумма корней -2, произведение -3. Корни: $a_1=1$, $a_2=-3$. Разложение: $(a-1)(a+3)$.

Для $a^2+3a-10=0$: сумма корней -3, произведение -10. Корни: $a_1=2$, $a_2=-5$. Разложение: $(a-2)(a+5)$.

Для $a^2-9a+14=0$: сумма корней 9, произведение 14. Корни: $a_1=2$, $a_2=7$. Разложение: $(a-2)(a-7)$.

Для $a^2+7a+12=0$: сумма корней -7, произведение 12. Корни: $a_1=-3$, $a_2=-4$. Разложение: $(a+3)(a+4)$.

Подставим полученные разложения в выражение:

$\frac{(a-1)(a+3)}{(a-2)(a+5)} \cdot \frac{(a-2)(a-7)}{(a+3)(a+4)}$

Сократим общие множители $(a+3)$ и $(a-2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(a-1)\cancel{(a+3)}}{\cancel{(a-2)}(a+5)} \cdot \frac{\cancel{(a-2)}(a-7)}{\cancel{(a+3)}(a+4)} = \frac{(a-1)(a-7)}{(a+5)(a+4)}$

Ответ: $\frac{(a-1)(a-7)}{(a+4)(a+5)}$