Номер 7.43, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.43. Дано произведение чисел $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 100$. Это выражение записывают как $100!$ и читают: «Сто факториал».

1) Сколько нулей стоит в конце числа $100!$?

2) На какую наибольшую степень числа 2 делится число $100!$?

1) Количество нулей в конце числа определяется количеством пар простых множителей 2 и 5 в его разложении. Число 100! является произведением всех целых чисел от 1 до 100.

$100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 100$

Каждый ноль в конце числа образуется произведением $2 \cdot 5 = 10$. В разложении 100! на простые множители двоек будет значительно больше, чем пятерок (поскольку каждое второе число делится на 2, а на 5 — только каждое пятое). Поэтому количество нулей равно количеству множителей 5.

Чтобы найти количество множителей 5, нужно посчитать, сколько чисел от 1 до 100 делятся на 5, сколько на $5^2=25$, сколько на $5^3=125$ и так далее. Для этого можно использовать формулу Лежандра.

Количество чисел, делящихся на 5: $\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$.

Некоторые из этих чисел (25, 50, 75, 100) делятся на 25, то есть содержат дополнительный множитель 5. Количество таких чисел: $\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$.

Следующая степень пятерки $5^3=125$, что больше 100, поэтому чисел, делящихся на 125, нет.

Общее количество множителей 5 в разложении 100! равно сумме этих значений: $20 + 4 = 24$.

Следовательно, в конце числа 100! стоит 24 нуля.

Ответ: 24.

2) Чтобы найти наибольшую степень числа 2, на которую делится 100!, нужно найти, сколько раз множитель 2 входит в разложение числа 100! на простые множители. Аналогично предыдущему пункту, посчитаем количество чисел, кратных степеням двойки.

Количество чисел, делящихся на 2: $\lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$.

Количество чисел, делящихся на 4 ($2^2$): $\lfloor \frac{100}{4} \rfloor = 25$.

Количество чисел, делящихся на 8 ($2^3$): $\lfloor \frac{100}{8} \rfloor = 12$.

Количество чисел, делящихся на 16 ($2^4$): $\lfloor \frac{100}{16} \rfloor = 6$.

Количество чисел, делящихся на 32 ($2^5$): $\lfloor \frac{100}{32} \rfloor = 3$.

Количество чисел, делящихся на 64 ($2^6$): $\lfloor \frac{100}{64} \rfloor = 1$.

Следующая степень двойки $2^7=128$, что больше 100.

Суммируем все полученные значения, чтобы найти общую степень двойки: $50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$.

Таким образом, число 100! делится на $2^{97}$, и это наибольшая степень двойки.

Ответ: 97.