Номер 7.40, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.40. Представьте произведение в виде степени:

1) $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{31}$;

2) $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot \ldots \cdot 5^{33}$;

3) $7^2 \cdot 7^4 \cdot 7^6 \cdot \ldots \cdot 7^{2n}$.

1) Чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Это свойство степеней записывается как $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно 2.

$2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{31} = 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{31} = 2^{1+2+3+\ldots+31}$

Показатель степени представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = 1$, последний член $a_{31} = 31$, а количество членов $n=31$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

Вычислим сумму показателей: $1+2+3+\ldots+31 = \frac{(1+31) \cdot 31}{2} = \frac{32 \cdot 31}{2} = 16 \cdot 31 = 496$.

Таким образом, произведение равно $2^{496}$.

Ответ: $2^{496}$

2) Аналогично первому пункту, используем правило умножения степеней с одинаковым основанием. Основание равно 5.

$5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot \ldots \cdot 5^{33} = 5^1 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot \ldots \cdot 5^{33} = 5^{1+2+3+\ldots+33}$

Показатель степени является суммой арифметической прогрессии с первым членом $a_1 = 1$, последним членом $a_{33} = 33$ и количеством членов $n=33$.

Вычислим сумму показателей, используя формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$:

$1+2+3+\ldots+33 = \frac{(1+33) \cdot 33}{2} = \frac{34 \cdot 33}{2} = 17 \cdot 33 = 561$.

Следовательно, искомое произведение равно $5^{561}$.

Ответ: $5^{561}$

3) В этом случае основание степени равно 7. Сложим показатели степеней.

$7^2 \cdot 7^4 \cdot 7^6 \cdot \ldots \cdot 7^{2n} = 7^{2+4+6+\ldots+2n}$

Показатель степени представляет собой сумму четных чисел от 2 до $2n$. Эту сумму можно рассматривать как сумму членов арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 2$, последний член $a_k = 2n$. Разность прогрессии $d=2$. Найдем количество членов $k$ в этой прогрессии. По формуле $k$-го члена $a_k = a_1 + (k-1)d$: $2n = 2 + (k-1)2$ $2n = 2 + 2k - 2$ $2n = 2k$ $k = n$

Теперь найдем сумму этих $n$ членов по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_k) \cdot k}{2}$ (здесь $k$ - количество членов, равное $n$): $S = \frac{(2 + 2n) \cdot n}{2} = \frac{2(1+n)n}{2} = n(n+1)$.

Другой способ: вынести общий множитель 2 за скобки: $2+4+6+\ldots+2n = 2(1+2+3+\ldots+n)$. Сумма в скобках — это сумма первых $n$ натуральных чисел, которая равна $\frac{n(n+1)}{2}$. Тогда вся сумма равна $2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.

Таким образом, произведение равно $7^{n(n+1)}$.

Ответ: $7^{n(n+1)}$