Номер 7.41, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.41. Найдите значение выражения:

1) $\frac{(8^{n+1} + 8^n)^2}{(4^n - 4^{n-1})^3}$, $n \in N$;

2) $\frac{(4^{n+1} + 6 \cdot 4^n)^3}{(8^{n+1} + 2 \cdot 8^n)^2}$, $n \in N$.

1) Для того чтобы найти значение выражения, упростим числитель и знаменатель дроби, вынося общий множитель за скобки.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем за скобки $8^n$:

$ (8^{n+1} + 8^n)^2 = (8^n \cdot 8^1 + 8^n)^2 = (8^n(8+1))^2 = (9 \cdot 8^n)^2 = 9^2 \cdot (8^n)^2 = 81 \cdot 8^{2n} $

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем за скобки $4^{n-1}$:

$ (4^n - 4^{n-1})^3 = (4^{n-1} \cdot 4^1 - 4^{n-1})^3 = (4^{n-1}(4-1))^3 = (3 \cdot 4^{n-1})^3 = 3^3 \cdot (4^{n-1})^3 = 27 \cdot 4^{3(n-1)} = 27 \cdot 4^{3n-3} $

Подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь:

$ \frac{(8^{n+1} + 8^n)^2}{(4^n - 4^{n-1})^3} = \frac{81 \cdot 8^{2n}}{27 \cdot 4^{3n-3}} $

Чтобы упростить полученное выражение, представим основания степеней 8 и 4 как степени числа 2 ($8=2^3$, $4=2^2$):

$ \frac{81 \cdot (2^3)^{2n}}{27 \cdot (2^2)^{3n-3}} = \frac{81 \cdot 2^{3 \cdot 2n}}{27 \cdot 2^{2 \cdot (3n-3)}} = \frac{81 \cdot 2^{6n}}{27 \cdot 2^{6n-6}} $

Сократим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием:

$ \frac{81}{27} \cdot \frac{2^{6n}}{2^{6n-6}} = 3 \cdot 2^{6n - (6n-6)} = 3 \cdot 2^{6n - 6n + 6} = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192 $

Ответ: 192

2) Решим второе выражение аналогично первому, упрощая числитель и знаменатель.

Упростим числитель, вынеся за скобки $4^n$:

$ (4^{n+1} + 6 \cdot 4^n)^3 = (4^n \cdot 4^1 + 6 \cdot 4^n)^3 = (4^n(4+6))^3 = (10 \cdot 4^n)^3 = 10^3 \cdot (4^n)^3 = 1000 \cdot 4^{3n} $

Упростим знаменатель, вынеся за скобки $8^n$:

$ (8^{n+1} + 2 \cdot 8^n)^2 = (8^n \cdot 8^1 + 2 \cdot 8^n)^2 = (8^n(8+2))^2 = (10 \cdot 8^n)^2 = 10^2 \cdot (8^n)^2 = 100 \cdot 8^{2n} $

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$ \frac{(4^{n+1} + 6 \cdot 4^n)^3}{(8^{n+1} + 2 \cdot 8^n)^2} = \frac{1000 \cdot 4^{3n}}{100 \cdot 8^{2n}} $

Представим основания степеней 4 и 8 через основание 2 ($4=2^2$, $8=2^3$):

$ \frac{1000 \cdot (2^2)^{3n}}{100 \cdot (2^3)^{2n}} = \frac{1000 \cdot 2^{2 \cdot 3n}}{100 \cdot 2^{3 \cdot 2n}} = \frac{1000 \cdot 2^{6n}}{100 \cdot 2^{6n}} $

Сократим дробь:

$ \frac{1000}{100} \cdot \frac{2^{6n}}{2^{6n}} = 10 \cdot 1 = 10 $

Ответ: 10