Номер 7.39, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.39. Докажите, что сумма $333^{555}+555^{333}$ делится на 37.

Чтобы доказать, что сумма $333^{555} + 555^{333}$ делится на 37, мы покажем, что остаток от деления этого выражения на 37 равен нулю. Для этого воспользуемся теорией сравнений.

Сначала рассмотрим основания степеней. Найдем, какие остатки дают числа 333 и 555 при делении на 37.

Число 333 можно представить как $333 = 3 \times 111$. Учитывая, что $111 = 3 \times 37$, получаем $333 = 3 \times (3 \times 37) = 9 \times 37$. Так как 333 является целым кратным числа 37, остаток от деления 333 на 37 равен 0. На языке сравнений это записывается как: $333 \equiv 0 \pmod{37}$.

Аналогично для числа 555: $555 = 5 \times 111 = 5 \times (3 \times 37) = 15 \times 37$. Число 555 также делится на 37 без остатка. Следовательно: $555 \equiv 0 \pmod{37}$.

Теперь используем свойство возведения в степень в сравнениях: если $a \equiv b \pmod n$, то $a^k \equiv b^k \pmod n$ для любого натурального $k$.

Для первого слагаемого $333^{555}$, так как $333 \equiv 0 \pmod{37}$, имеем $333^{555} \equiv 0^{555} \pmod{37}$. Поскольку $555$ - натуральное число, $0^{555} = 0$. Таким образом, $333^{555} \equiv 0 \pmod{37}$.

Для второго слагаемого $555^{333}$, так как $555 \equiv 0 \pmod{37}$, имеем $555^{333} \equiv 0^{333} \pmod{37}$. Поскольку $333$ - натуральное число, $0^{333} = 0$. Таким образом, $555^{333} \equiv 0 \pmod{37}$.

Наконец, используем свойство сложения в сравнениях: если $a \equiv b \pmod n$ и $c \equiv d \pmod n$, то $a+c \equiv b+d \pmod n$.

Складывая полученные сравнения для слагаемых, получаем: $333^{555} + 555^{333} \equiv 0 + 0 \pmod{37}$ $333^{555} + 555^{333} \equiv 0 \pmod{37}$

Это означает, что сумма $333^{555} + 555^{333}$ имеет остаток 0 при делении на 37, то есть она делится на 37 нацело. Утверждение доказано.

Ответ: Поскольку оба слагаемых, $333^{555}$ и $555^{333}$, являются числами, делящимися на 37 (так как их основания $333 = 9 \times 37$ и $555 = 15 \times 37$ делятся на 37), их сумма также делится на 37.