Номер 7.32, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.32. Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 3; на 4?

при делении на 3

Точный квадрат – это квадрат целого числа $n$, то есть $n^2$. Чтобы найти возможные остатки от деления $n^2$ на 3, рассмотрим, какие остатки может иметь само число $n$ при делении на 3. Любое целое число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

Рассмотрим каждый из трех случаев:

1. Если $n$ делится на 3 без остатка, его можно представить в виде $n = 3k$, где $k$ – целое число. Тогда его квадрат равен $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$. Это число делится на 3, следовательно, остаток равен 0.

2. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 1, его можно представить в виде $n = 3k + 1$. Тогда его квадрат равен $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. При делении на 3 это число дает остаток 1.

3. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 2, его можно представить в виде $n = 3k + 2$. Тогда его квадрат равен $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4$. Поскольку $4 = 3 + 1$, выражение можно переписать как $n^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. При делении на 3 это число также дает остаток 1.

Таким образом, при делении на 3 точный квадрат может давать в остатке только 0 или 1.

Ответ: 0 или 1.

на 4

Для определения остатков от деления точного квадрата $n^2$ на 4, рассмотрим два основных случая в зависимости от четности числа $n$.

1. Если число $n$ четное, его можно записать как $n = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда его квадрат $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Это число очевидно делится на 4 без остатка. Таким образом, остаток равен 0.

2. Если число $n$ нечетное, его можно записать как $n = 2k + 1$ для некоторого целого $k$. Тогда его квадрат $n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1$. При делении на 4 это число дает остаток 1.

Следовательно, квадрат четного числа всегда делится на 4, а квадрат нечетного числа всегда дает остаток 1 при делении на 4. Других случаев нет.

Таким образом, при делении на 4 точный квадрат может давать в остатке только 0 или 1.

Ответ: 0 или 1.