Номер 7.27, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.27. Вычислите:

1) $\frac{5^4 + 5 \cdot 3^6}{5^3 + 5^2 \cdot 3^2}$

2) $\frac{6^6 \cdot 2^8 - 3^6}{6^6 + 3^8 \cdot 6^3 + 3^6}$

3) $\frac{(-27)^{-15} \cdot (-9)^{20}}{(-3)^{-7}}$

1) Для вычисления значения выражения $ \frac{5^4 + 5 \cdot 3^6}{5^3 + 5^2 \cdot 3^2} $ преобразуем числитель и знаменатель, вынося общие множители за скобки.

В числителе вынесем за скобки множитель 5:

$ 5^4 + 5 \cdot 3^6 = 5(5^3 + 3^6) $

В знаменателе вынесем за скобки множитель $5^2$:

$ 5^3 + 5^2 \cdot 3^2 = 5^2(5 + 3^2) $

Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$ \frac{5(5^3 + 3^6)}{5^2(5 + 3^2)} = \frac{5^3 + 3^6}{5(5 + 3^2)} $

Теперь вычислим значения в скобках:

$ 5^3 + 3^6 = 125 + (3^3)^2 = 125 + 27^2 = 125 + 729 = 854 $

$ 5(5 + 3^2) = 5(5 + 9) = 5 \cdot 14 = 70 $

Получаем дробь:

$ \frac{854}{70} $

Сократим дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, делятся на 14:

$ 854 \div 14 = 61 $

$ 70 \div 14 = 5 $

Таким образом, итоговый результат:

$ \frac{854}{70} = \frac{61}{5} = 12.2 $

Ответ: $ \frac{61}{5} $.

2) Для вычисления значения выражения $ \frac{6^6 \cdot 2^8 - 3^6}{6^6 + 3^8 \cdot 6^3 + 3^6} $ представим число 6 как произведение $2 \cdot 3$ и преобразуем числитель и знаменатель.

Преобразуем числитель:

$ 6^6 \cdot 2^8 - 3^6 = (2 \cdot 3)^6 \cdot 2^8 - 3^6 = 2^6 \cdot 3^6 \cdot 2^8 - 3^6 = 2^{14} \cdot 3^6 - 3^6 $

Вынесем общий множитель $3^6$ за скобки:

$ 3^6(2^{14} - 1) $

Преобразуем знаменатель:

$ 6^6 + 3^8 \cdot 6^3 + 3^6 = (2 \cdot 3)^6 + 3^8 \cdot (2 \cdot 3)^3 + 3^6 = 2^6 \cdot 3^6 + 3^8 \cdot 2^3 \cdot 3^3 + 3^6 = 2^6 \cdot 3^6 + 2^3 \cdot 3^{11} + 3^6 $

Вынесем общий множитель $3^6$ за скобки:

$ 3^6(2^6 + 2^3 \cdot 3^5 + 1) $

Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим на $3^6$:

$ \frac{3^6(2^{14} - 1)}{3^6(2^6 + 2^3 \cdot 3^5 + 1)} = \frac{2^{14} - 1}{2^6 + 2^3 \cdot 3^5 + 1} $

Вычислим числитель:

$ 2^{14} - 1 = (2^7)^2 - 1 = 128^2 - 1 = 16384 - 1 = 16383 $

Вычислим знаменатель:

$ 2^6 + 2^3 \cdot 3^5 + 1 = 64 + 8 \cdot 243 + 1 = 64 + 1944 + 1 = 2009 $

Получаем дробь:

$ \frac{16383}{2009} $

Разложим знаменатель на простые множители: $2009 = 7^2 \cdot 41$. Числитель $16383$ не делится ни на 7, ни на 41. Следовательно, данная дробь является несократимой.

Ответ: $ \frac{16383}{2009} $.

3) Для вычисления значения выражения $ \frac{(-27)^{-15} \cdot (-9)^{20}}{(-3)^{-7}} $ представим основания степеней через число 3.

$ -27 = (-3)^3 $

$ -9 = -(3^2) $

Преобразуем каждый множитель:

$ (-27)^{-15} = ((-3)^3)^{-15} = (-3)^{3 \cdot (-15)} = (-3)^{-45} $

$ (-9)^{20} = (-(3^2))^{20} $. Так как показатель степени 20 - четное число, минус можно убрать: $ (3^2)^{20} = 3^{40} $.

Знаменатель: $ (-3)^{-7} $.

Подставим преобразованные значения в исходное выражение:

$ \frac{(-3)^{-45} \cdot 3^{40}}{(-3)^{-7}} $

Раскроем скобки в степенях с отрицательным основанием. Если показатель степени нечетный, знак "минус" сохраняется:

$ (-3)^{-45} = -3^{-45} $

$ (-3)^{-7} = -3^{-7} $

Выражение примет вид:

$ \frac{-3^{-45} \cdot 3^{40}}{-3^{-7}} $

Упростим числитель:

$ -3^{-45} \cdot 3^{40} = -3^{-45+40} = -3^{-5} $

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{-3^{-5}}{-3^{-7}} = \frac{3^{-5}}{3^{-7}} $

Используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получаем:

$ 3^{-5 - (-7)} = 3^{-5+7} = 3^2 = 9 $

Ответ: $ 9 $.