Номер 7.42, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.42. Число $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 20$ представьте в виде произведения простых множителей (в виде канонического разложения).

Заданное число представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до 20, что является факториалом числа 20 и обозначается как $20!$.

Каноническое разложение числа — это его представление в виде произведения простых множителей в степенях. Чтобы найти каноническое разложение $20!$, необходимо определить все простые числа, не превосходящие 20, и найти, в какой степени каждое из них входит в это произведение.

Простые числа, меньшие или равные 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Степень каждого простого множителя $p$ в разложении $n!$ вычисляется по формуле Лежандра: $E_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ обозначает целую часть числа $x$.

Применим эту формулу для $n=20$ и каждого простого числа:

• Степень для 2: $\lfloor \frac{20}{2} \rfloor + \lfloor \frac{20}{4} \rfloor + \lfloor \frac{20}{8} \rfloor + \lfloor \frac{20}{16} \rfloor = 10 + 5 + 2 + 1 = 18$.
• Степень для 3: $\lfloor \frac{20}{3} \rfloor + \lfloor \frac{20}{9} \rfloor = 6 + 2 = 8$.
• Степень для 5: $\lfloor \frac{20}{5} \rfloor = 4$.
• Степень для 7: $\lfloor \frac{20}{7} \rfloor = 2$.
• Степень для 11: $\lfloor \frac{20}{11} \rfloor = 1$.
• Степень для 13: $\lfloor \frac{20}{13} \rfloor = 1$.
• Степень для 17: $\lfloor \frac{20}{17} \rfloor = 1$.
• Степень для 19: $\lfloor \frac{20}{19} \rfloor = 1$.

Собрав все множители вместе, получаем каноническое разложение числа $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 20$. Показатель степени 1 принято не писать.

Ответ: $2^{18} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$.