Номер 7.45, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.45. Какое число больше:

1) $5^{300}$ или $3^{500}$;

2) $2^{700}$ или $5^{200}$;

3) $2^{300}$ или $3^{200}$?

1) Чтобы сравнить числа $5^{300}$ и $3^{500}$, приведем их к общему показателю степени. Показатели степеней — 300 и 500. Их наибольший общий делитель равен 100. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для преобразования выражений.

Представим первое число: $5^{300} = 5^{3 \cdot 100} = (5^3)^{100} = 125^{100}$.

Представим второе число: $3^{500} = 3^{5 \cdot 100} = (3^5)^{100}$. Вычислим $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$. Таким образом, $3^{500} = 243^{100}$.

Теперь необходимо сравнить полученные числа: $125^{100}$ и $243^{100}$. Так как у этих степеней одинаковый положительный показатель (100), то сравнение сводится к сравнению их оснований.

Сравниваем основания: $125 < 243$.

Из этого следует, что $125^{100} < 243^{100}$, а значит $5^{300} < 3^{500}$.

Ответ: $3^{500}$.

2) Чтобы сравнить числа $2^{700}$ и $5^{300}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 700 и 300 равен 100.

Представим первое число: $2^{700} = 2^{7 \cdot 100} = (2^7)^{100}$. Вычислим $2^7$: $2^7 = 128$. Следовательно, $2^{700} = 128^{100}$.

Представим второе число: $5^{300} = 5^{3 \cdot 100} = (5^3)^{100} = 125^{100}$.

Теперь сравним $128^{100}$ и $125^{100}$. Поскольку показатели степеней одинаковы, достаточно сравнить основания.

Сравниваем основания: $128 > 125$.

Отсюда следует, что $128^{100} > 125^{100}$, а значит $2^{700} > 5^{300}$.

Ответ: $2^{700}$.

3) Чтобы сравнить числа $2^{300}$ и $3^{200}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 300 и 200 равен 100.

Представим первое число: $2^{300} = 2^{3 \cdot 100} = (2^3)^{100} = 8^{100}$.

Представим второе число: $3^{200} = 3^{2 \cdot 100} = (3^2)^{100} = 9^{100}$.

Теперь сравним полученные числа: $8^{100}$ и $9^{100}$. Так как показатели степеней равны, сравним их основания.

Сравниваем основания: $8 < 9$.

Следовательно, $8^{100} < 9^{100}$, а значит $2^{300} < 3^{200}$.

Ответ: $3^{200}$.