Номер 7.14, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.11-7.17 выполните вычисления.

7.14. 1) $(1+x)(1-x)(1+x^2)$;

2) $5x^2-3(x+1)(x-1)$.

1) Для вычисления выражения $(1+x)(1-x)(1+x^2)$ будем последовательно применять формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Сначала преобразуем произведение первых двух множителей $(1+x)(1-x)$. В данном случае $a=1$ и $b=x$.

$(1+x)(1-x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$.

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$(1 - x^2)(1 + x^2)$.

Мы снова видим конструкцию, подходящую для применения формулы разности квадратов. На этот раз $a=1$ и $b=x^2$.

$(1 - x^2)(1 + x^2) = 1^2 - (x^2)^2 = 1 - x^4$.

Ответ: $1 - x^4$.

2) Рассмотрим выражение $5x^2-3(x+1)(x-1)$.

В первую очередь упростим произведение скобок $(x+1)(x-1)$. Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$, где $a=x$ и $b=1$.

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$5x^2 - 3(x^2 - 1)$.

Далее, раскроем скобки, умножив множитель $-3$ на каждый член внутри скобок:

$5x^2 - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot (-1) = 5x^2 - 3x^2 + 3$.

Осталось привести подобные слагаемые, содержащие $x^2$:

$(5-3)x^2 + 3 = 2x^2 + 3$.

Ответ: $2x^2 + 3$.