Номер 7.12, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.11-7.17 выполните вычисления.

7.12. 1) $\frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{3}{6a^2b^2}$

2) $\frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2}$

3) $\frac{5a^2-2a-1}{a^2b} - \frac{3a-2}{ab}$

1) Исходное выражение: $ \frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{3}{6a^2b^2} $.

Чтобы выполнить сложение и вычитание дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $ab$, $3a^2b$ и $6a^2b^2$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих выражений находится как наименьшее общее кратное (НОК) числовых коэффициентов и переменные в наивысших степенях.

НОК для коэффициентов 1, 3 и 6 равно 6.

Наивысшая степень переменной $a$ в знаменателях - $a^2$.

Наивысшая степень переменной $b$ в знаменателях - $b^2$.

Следовательно, общий знаменатель равен $6a^2b^2$.

Теперь найдем дополнительные множители для числителя каждой дроби:

Для первой дроби $ \frac{5x}{ab} $ дополнительный множитель: $ \frac{6a^2b^2}{ab} = 6ab $.

Для второй дроби $ \frac{2y}{3a^2b} $ дополнительный множитель: $ \frac{6a^2b^2}{3a^2b} = 2b $.

Для третьей дроби $ \frac{3}{6a^2b^2} $ дополнительный множитель: $ \frac{6a^2b^2}{6a^2b^2} = 1 $.

Умножим числители на их дополнительные множители и запишем под общим знаменателем:

$ \frac{5x \cdot 6ab}{6a^2b^2} + \frac{2y \cdot 2b}{6a^2b^2} - \frac{3 \cdot 1}{6a^2b^2} = \frac{30abx + 4by - 3}{6a^2b^2} $.

Дальнейшее упрощение числителя невозможно, так как в нем нет подобных слагаемых.

Ответ: $ \frac{30abx + 4by - 3}{6a^2b^2} $.

2) Исходное выражение: $ \frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2} $.

Найдем общий знаменатель для дробей со знаменателями $a^2b$ и $ab^2$.

Общий знаменатель должен содержать каждую переменную в наивысшей встречающейся степени. Таким образом, общий знаменатель - $a^2b^2$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{a^2b^2}{a^2b} = b $.

Для второй дроби: $ \frac{a^2b^2}{ab^2} = a $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$ \frac{(2a-3b) \cdot b}{a^2b^2} - \frac{(4a-5b) \cdot a}{a^2b^2} = \frac{b(2a-3b) - a(4a-5b)}{a^2b^2} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{2ab - 3b^2 - (4a^2 - 5ab)}{a^2b^2} = \frac{2ab - 3b^2 - 4a^2 + 5ab}{a^2b^2} $.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(2ab + 5ab) - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2} = \frac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2} $.

Ответ: $ \frac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2} $.

3) Исходное выражение: $ \frac{5a^2-2a-1}{a^2b} - \frac{3a-2}{ab} $.

Найдем общий знаменатель для дробей со знаменателями $a^2b$ и $ab$.

Общий знаменатель - $a^2b$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен 1.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{a^2b}{ab} = a $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$ \frac{5a^2-2a-1}{a^2b} - \frac{(3a-2) \cdot a}{a^2b} = \frac{(5a^2-2a-1) - a(3a-2)}{a^2b} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{5a^2-2a-1 - (3a^2-2a)}{a^2b} = \frac{5a^2-2a-1 - 3a^2+2a}{a^2b} $.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(5a^2 - 3a^2) + (-2a + 2a) - 1}{a^2b} = \frac{2a^2 - 1}{a^2b} $.

Ответ: $ \frac{2a^2 - 1}{a^2b} $.