Номер 7.5, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.5. 1)

$ (x+1)(x^2-x+1); $

2) $ (a-2)(a^2+2a+4); $

3) $ (\frac{m}{2}-2n)(\frac{m^2}{4}+mn+4n^2). $

1)Для упрощения выражения $(x+1)^2(x^2-x+1)$ представим его как $(x+1)(x+1)(x^2-x+1)$. Заметим, что произведение $(x+1)(x^2-x+1)$ является формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. В нашем случае $a=x$ и $b=1$. Применяя формулу, получаем: $(x+1)(x^2-x \cdot 1+1^2) = x^3+1^3 = x^3+1$. Теперь исходное выражение можно переписать как $(x+1)(x^3+1)$. Раскроем скобки, перемножив многочлены: $(x+1)(x^3+1) = x \cdot x^3 + x \cdot 1 + 1 \cdot x^3 + 1 \cdot 1 = x^4 + x + x^3 + 1$. Запишем результат в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степени: $x^4+x^3+x+1$.

Ответ: $x^4+x^3+x+1$.

2)Выражение $(a-2)(a^2+2a+4)$ представляет собой формулу сокращенного умножения для разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. В данном случае $x=a$ и $y=2$. Вторая скобка $(a^2+2a+4)$ полностью соответствует части формулы $(x^2+xy+y^2)$, так как $a^2 = (a)^2$, $2a = a \cdot 2$, и $4 = 2^2$. Применив формулу, мы получаем разность кубов $a^3-2^3$. Вычислив $2^3=8$, находим окончательный результат.

Ответ: $a^3-8$.

3)Рассмотрим выражение $(\frac{m}{2}-2n)(\frac{m^2}{4}+mn+4n^2)$. Это выражение также соответствует формуле разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. В этом примере $x = \frac{m}{2}$ и $y = 2n$. Проверим, соответствует ли второй множитель $(x^2+xy+y^2)$: квадрат первого члена $x^2 = (\frac{m}{2})^2 = \frac{m^2}{4}$; произведение первого и второго членов $xy = (\frac{m}{2})(2n) = mn$; квадрат второго члена $y^2 = (2n)^2 = 4n^2$. Все компоненты совпадают с формулой. Следовательно, результат равен разности кубов $x^3-y^3$. Подставим наши значения $x$ и $y$: $(\frac{m}{2})^3 - (2n)^3 = \frac{m^3}{8} - 8n^3$.

Ответ: $\frac{m^3}{8} - 8n^3$.