Тесты, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Тесты к разделу «Рациональные выражения»

1. Определите, при каком значении х выражение $\frac{5}{x-2}$ не имеет смысла.

A) $x = 0$

B) $x = 2$

C) $x = 5$

D) Выражение всегда определено

2. Упростите выражение $\frac{x^2}{x}$ при $x \neq 0$.

A) $\text{x}$

B) $x^2$

C) $\text{1}$

D) $\text{0}$

3. Упростите выражение $\frac{3x}{6x}$ при $x \neq 0$.

A) $\frac{3}{6}$

B) $\frac{x}{2x}$

C) $\frac{1}{2}$

D) $\frac{x}{2}$

4. Упростите выражение $\frac{2x+6}{2}$.

A) $\frac{2(x+3)}{2} = x+3$

B) $\frac{2(x+3)}{2} = x+6$

C) $\frac{2(x+3)}{2} = 2(x+3)$

D) Нельзя упростить

5. Упростите выражение $\frac{(x+3)(x-3)}{(3-x)(x+3)}$ при $x \neq -3$, $x \neq 3$.

A) $-1$

B) $\text{1}$

C) $x-3$

D) $3-x$

6. Найдите значение произведения $\frac{3a-6}{b} \cdot \frac{4b}{3a}$ при $a, b \neq 0$.

A) $\frac{3(a-2) \cdot 4b}{2b \cdot 3a} = \frac{12b(a-2)}{6ab}$

B) $\frac{12(a-2)b}{6ab} = \frac{2(a-2)}{a}$

C) $\frac{4b}{6ab} = \frac{2}{3a}$

D) $\frac{4(a-2)}{a}$

7. Сложите $\frac{x-1}{2x}$ и $\frac{2x-1}{2x}$ при $x \neq 0$.

A) $\frac{x-1+2x-1}{2x} = \frac{3x-2}{2x}$

B) $\frac{3x-2}{4x}$

C) $\frac{x+2x-1}{2x} = \frac{3x-1}{2x}$

D) $\frac{2(3x-2)}{2x}$

8. Упростите выражение $\frac{(2x-4)^2}{(x-2)^2}$ при $x \neq 2$.

A) $\frac{2(x-2)^2}{(x-2)^2} = \left(\frac{2(x-2)}{x-2}\right)^2 = 4$

B) $\frac{4(x-2)^2}{(x-2)^2} = 4(x-2)$

C) $\frac{2(x-2)}{x-2}$

D) $(2x-4) : (x-2) = 2$

9. Выполните преобразование при $x \neq 1$: $\frac{x^2-1}{(x-1)^2}$.

A) $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}$

B) $\frac{x^2-1}{(x-1)^2} = x+1$

C) $\frac{x+1}{(x-1)^2}$

D) $\frac{x-1}{x+1}$

1.Рациональное выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю. В данном выражении $\frac{5}{x-2}$ знаменатель равен $x-2$. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти значение $x$, при котором выражение не имеет смысла: $x - 2 = 0$. Решая это уравнение, получаем $x = 2$. Следовательно, при $x=2$ выражение не имеет смысла.Ответ: B

2.Чтобы упростить выражение $\frac{x^2}{x}$, мы используем свойство степени: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Учитывая, что $x=x^1$: $\frac{x^2}{x^1} = x^{2-1} = x^1 = x$. Условие $x \neq 0$ позволяет нам выполнить это деление.Ответ: A

3.Для упрощения дроби $\frac{3x}{6x}$ необходимо сократить общие множители в числителе и знаменателе. Общим множителем является $3x$. Разделим числитель и знаменатель на $3x$: $\frac{3x \div 3x}{6x \div 3x} = \frac{1}{2}$. Условие $x \neq 0$ гарантирует, что мы не делим на ноль.Ответ: C

4.Чтобы упростить выражение $\frac{2x+6}{2}$, вынесем общий множитель 2 в числителе: $2x+6 = 2(x+3)$. Теперь выражение выглядит так: $\frac{2(x+3)}{2}$. Мы можем сократить общий множитель 2 в числителе и знаменателе, что дает $x+3$. Вариант A) правильно показывает этот процесс: $\frac{2(x+3)}{2}=x+3$.Ответ: A

5.Упростим выражение $\frac{(x+3)(x-3)}{(3-x)(x+3)}$. Условия $x \neq -3$ и $x \neq 3$ позволяют нам сокращать множители, так как они не равны нулю. Сократим общий множитель $(x+3)$ в числителе и знаменателе: $\frac{x-3}{3-x}$. Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Подставим это в знаменатель: $\frac{x-3}{-(x-3)}$. Теперь можно сократить $(x-3)$, и в результате получится $\frac{1}{-1} = -1$.Ответ: A

6.Найдем значение произведения $\frac{3a-6}{b} \cdot \frac{4b}{3a}$. Сначала вынесем общий множитель 3 в числителе первой дроби: $3a-6 = 3(a-2)$. Произведение примет вид: $\frac{3(a-2)}{b} \cdot \frac{4b}{3a}$. Перемножим числители и знаменатели: $\frac{3(a-2) \cdot 4b}{b \cdot 3a}$. Теперь сократим общие множители. Можно сократить $3$ и $b$ (так как $a, b \neq 0$). Получаем: $\frac{(a-2) \cdot 4}{a} = \frac{4(a-2)}{a}$.Ответ: D

7.Чтобы сложить дроби $\frac{x-1}{2x}$ и $\frac{2x-1}{2x}$, нужно сложить их числители, так как у них одинаковый знаменатель $2x$. Получаем: $\frac{(x-1) + (2x-1)}{2x}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{x-1+2x-1}{2x}$. Приведем подобные слагаемые в числителе ($x+2x=3x$ и $-1-1=-2$): $\frac{3x-2}{2x}$.Ответ: A

8.Для упрощения выражения $\frac{(2x-4)^2}{(x-2)^2}$ сначала преобразуем числитель. Вынесем общий множитель 2 из скобок: $2x-4 = 2(x-2)$. Тогда числитель равен $(2(x-2))^2 = 2^2 \cdot (x-2)^2 = 4(x-2)^2$. Выражение принимает вид $\frac{4(x-2)^2}{(x-2)^2}$. Так как $x \neq 2$, то $(x-2)^2 \neq 0$, и мы можем сократить этот множитель. В результате остается 4.Ответ: A

9.Выполним преобразование выражения $\frac{x^2-1}{(x-1)^2}$. Числитель $x^2-1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}$. Знаменатель $(x-1)^2$ можно записать как $(x-1)(x-1)$. Получаем: $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-1)}$. Учитывая условие $x \neq 1$, мы можем сократить один общий множитель $(x-1)$ в числителе и знаменателе. В результате остается $\frac{x+1}{x-1}$.Ответ: A