Номер 7.1, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.1-7.5 выполните указанные действия.

7.1. 1) $\frac{2x}{15} - \frac{3x}{20} + \frac{x}{12}$;

2) $\frac{4a}{25} - \frac{4a}{35} + \frac{8a}{21}$;

3) $\frac{m}{a-1} + \frac{n}{1-a}$.

1) Чтобы выполнить действия с дробями $\frac{2x}{15}-\frac{3x}{20}+\frac{x}{12}$, нужно привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 15, 20 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$20 = 2^2 \cdot 5$

$12 = 2^2 \cdot 3$

НОК(15, 20, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби: $60 / 15 = 4$.

Для второй дроби: $60 / 20 = 3$.

Для третьей дроби: $60 / 12 = 5$.

Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и запишем результат с общим знаменателем:

$\frac{2x \cdot 4}{60} - \frac{3x \cdot 3}{60} + \frac{x \cdot 5}{60} = \frac{8x - 9x + 5x}{60}$.

Сложим и вычтем слагаемые в числителе:

$8x - 9x + 5x = -x + 5x = 4x$.

Получаем дробь $\frac{4x}{60}$.

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{4x}{60} = \frac{x}{15}$.

Ответ: $\frac{x}{15}$.

2) Для выражения $\frac{4a}{25}-\frac{4a}{35}+\frac{8a}{21}$ найдем общий знаменатель. Для этого найдем НОК чисел 25, 35 и 21.

Разложим на простые множители:

$25 = 5^2$

$35 = 5 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

НОК(25, 35, 21) = $3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 3 \cdot 25 \cdot 7 = 525$.

Определим дополнительные множители:

Для первой дроби: $525 / 25 = 21$.

Для второй дроби: $525 / 35 = 15$.

Для третьей дроби: $525 / 21 = 25$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$\frac{4a \cdot 21}{525} - \frac{4a \cdot 15}{525} + \frac{8a \cdot 25}{525} = \frac{84a - 60a + 200a}{525}$.

Упростим числитель:

$84a - 60a + 200a = 24a + 200a = 224a$.

Получаем дробь $\frac{224a}{525}$.

Проверим, можно ли сократить эту дробь. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для 224 и 525.

$224 = 2^5 \cdot 7$

$525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$

НОД(224, 525) = 7.

Сократим дробь на 7:

$\frac{224a \div 7}{525 \div 7} = \frac{32a}{75}$.

Ответ: $\frac{32a}{75}$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{m}{a-1}+\frac{n}{1-a}$.

Знаменатели дробей $(a-1)$ и $(1-a)$ являются противоположными выражениями, так как $1-a = -(a-1)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся знак минус из знаменателя:

$\frac{n}{1-a} = \frac{n}{-(a-1)} = -\frac{n}{a-1}$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{m}{a-1} - \frac{n}{a-1}$.

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем вычесть их числители:

$\frac{m-n}{a-1}$.

Ответ: $\frac{m-n}{a-1}$.