Номер 6.110, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.110. Упростите выражение:

1) $\frac{x-a}{x-b}$ при $x = \frac{ab}{a+b}$;

2) $\frac{\frac{a}{b}-x}{\frac{b}{a}+x}$ при $x = \frac{a-b}{a+b}$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{x-a}{x-b}$ при $x = \frac{ab}{a+b}$, подставим значение $x$ в это выражение.

$\frac{x-a}{x-b} = \frac{\frac{ab}{a+b} - a}{\frac{ab}{a+b} - b}$

Теперь упростим числитель и знаменатель полученной "многоэтажной" дроби. Для этого в числителе и знаменателе приведем выражения к общему знаменателю.

Упростим числитель:

$\frac{ab}{a+b} - a = \frac{ab}{a+b} - \frac{a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - (a^2 + ab)}{a+b} = \frac{ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{-a^2}{a+b}$

Упростим знаменатель:

$\frac{ab}{a+b} - b = \frac{ab}{a+b} - \frac{b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - (ab + b^2)}{a+b} = \frac{ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{-b^2}{a+b}$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{\frac{-a^2}{a+b}}{\frac{-b^2}{a+b}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$\frac{-a^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{-b^2} = \frac{-a^2}{-b^2} = \frac{a^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}$

2) Чтобы упростить выражение $\frac{\frac{a}{b} - x}{\frac{b}{a} + x}$ при $x = \frac{a-b}{a+b}$, подставим значение $x$ в это выражение.

$\frac{\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b}}{\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b}}$

Упростим числитель и знаменатель основной дроби, приведя их к общему знаменателю.

Упростим числитель. Общий знаменатель для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{a-b}{a+b}$ будет $b(a+b)$.

$\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{a(a+b)}{b(a+b)} - \frac{b(a-b)}{b(a+b)} = \frac{a^2 + ab - (ab - b^2)}{b(a+b)} = \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{b(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{b(a+b)}$

Упростим знаменатель. Общий знаменатель для дробей $\frac{b}{a}$ и $\frac{a-b}{a+b}$ будет $a(a+b)$.

$\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{b(a+b)}{a(a+b)} + \frac{a(a-b)}{a(a+b)} = \frac{ab + b^2 + a^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)}$

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{\frac{a^2 + b^2}{b(a+b)}}{\frac{a^2 + b^2}{a(a+b)}}$

Разделим числитель на знаменатель, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:

$\frac{a^2 + b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2 + b^2}$

Сократим одинаковые множители $(a^2 + b^2)$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$