Номер 6.106, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.106. Докажите, что значение выражения $\frac{y}{3-y} + \frac{y^2+3y}{2y+3} \left( \frac{y+3}{y^2-3y} - \frac{y}{y^2-9} \right)$ не зависит от значений переменной y.

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от переменной $y$, упростим данное выражение по действиям.

1. Сначала выполним действие в скобках — вычитание дробей:

$\frac{y+3}{y^2-3y} - \frac{y}{y^2-9}$

Для этого разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $y^2 - 3y = y(y-3)$. Знаменатель второй дроби: $y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$ (формула разности квадратов). Общий знаменатель для этих дробей будет $y(y-3)(y+3)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{(y+3)(y+3)}{y(y-3)(y+3)} - \frac{y \cdot y}{y(y-3)(y+3)} = \frac{(y+3)^2 - y^2}{y(y-3)(y+3)}$

Упростим числитель, применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(y+3)^2 - y^2 = ((y+3)-y)((y+3)+y) = 3(2y+3)$

Таким образом, результат действия в скобках:

$\frac{3(2y+3)}{y(y-3)(y+3)}$

2. Теперь выполним умножение:

$\frac{y^2+3y}{2y+3} \cdot \frac{3(2y+3)}{y(y-3)(y+3)}$

Разложим на множители числитель первой дроби: $y^2+3y = y(y+3)$.

Подставим и сократим одинаковые множители:

$\frac{y(y+3)}{2y+3} \cdot \frac{3(2y+3)}{y(y-3)(y+3)} = \frac{\cancel{y}(\cancel{y+3})}{\cancel{2y+3}} \cdot \frac{3(\cancel{2y+3})}{\cancel{y}(y-3)(\cancel{y+3})} = \frac{3}{y-3}$

3. Наконец, выполним сложение с первым членом исходного выражения:

$\frac{y}{3-y} + \frac{3}{y-3}$

Заметим, что $3-y = -(y-3)$. Преобразуем первую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{y}{-(y-3)} + \frac{3}{y-3} = -\frac{y}{y-3} + \frac{3}{y-3}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{-y+3}{y-3} = \frac{3-y}{y-3} = \frac{-(y-3)}{y-3} = -1$

В результате упрощения мы получили число -1. Это значение является константой и не зависит от переменной $y$. Утверждение доказано.

Ответ: значение выражения равно -1, что является постоянной величиной и не зависит от значений переменной $y$.