Номер 6.101, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93-6.104 упростите выражения.

6.101. 1) $\left(\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right) : \left(\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a}\right);$

2) $\left(\frac{1}{x+1} - \frac{3}{x^3+1} + \frac{3}{x^2-x+1}\right) \left(x - \frac{2x-1}{x+1}\right).$

1) $(\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}) : (\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a})$

Решение будем выполнять по действиям.

1. Упростим выражение в первой скобке. Заметим, что знаменатель второй дроби $4a^2+4ab+b^2$ является полным квадратом $(2a+b)^2$.

$\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2a(2a+b)}{(2a+b)^2} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{4a^2+2ab-4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2ab}{(2a+b)^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Знаменатель первой дроби $4a^2-b^2$ — это разность квадратов $(2a-b)(2a+b)$. Знаменатель второй дроби можно представить как $b-2a = -(2a-b)$.

$\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a} = \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1}{2a-b} = \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1 \cdot (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a - (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a-2a-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)}$

3. Выполним деление результатов первого и второго действий. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{2ab}{(2a+b)^2} : \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a-b)(2a+b)}{-b}$

Сократим общие множители $b$ и $(2a+b)$:

$\frac{2a \cdot b \cdot (2a-b) \cdot (2a+b)}{(2a+b) \cdot (2a+b) \cdot (-b)} = \frac{2a(2a-b)}{-(2a+b)} = -\frac{2a(2a-b)}{2a+b} = \frac{2a(b-2a)}{2a+b}$

Ответ: $\frac{2a(b-2a)}{2a+b}$.

2) $(\frac{1}{x+1} - \frac{3}{x^3+1} + \frac{3}{x^2-x+1})(x - \frac{2x-1}{x+1})$

Решение будем выполнять по действиям.

1. Упростим выражение в первой скобке. Разложим знаменатель $x^3+1$ по формуле суммы кубов: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$.

$\frac{1}{x+1} - \frac{3}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{3}{x^2-x+1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x^2-x+1)$:

$\frac{1 \cdot (x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} - \frac{3}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{3 \cdot (x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x^2-x+1-3+3x+3}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x^2+2x+1}{x^3+1}$

Числитель $x^2+2x+1$ является полным квадратом $(x+1)^2$. Сократим полученную дробь:

$\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x+1}{x^2-x+1}$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$x - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{x(x+1)}{x+1} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{x^2+x-(2x-1)}{x+1} = \frac{x^2+x-2x+1}{x+1} = \frac{x^2-x+1}{x+1}$

3. Перемножим результаты упрощения обеих скобок:

$\frac{x+1}{x^2-x+1} \cdot \frac{x^2-x+1}{x+1}$

Все множители в числителе и знаменателе взаимно сокращаются.

$\frac{x+1}{x^2-x+1} \cdot \frac{x^2-x+1}{x+1} = 1$

Ответ: $1$.