Номер 6.104, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93-6.104 упростите выражения.

6.104. 1) $ \frac{x^2-x}{x^2+ax+a^2} : \frac{x^2-1}{x^3-a^3} + \frac{x^3+a^3}{x^2-1} : \frac{x^2-ax+a^2}{ax-a} $

2) $ \left(\frac{k+x}{x^2-kx+k^2} - \frac{1}{k+x}\right) : \left(\frac{k^2+2x^2}{k^3+x^3} - \frac{k+2x}{k^2-kx+x^2}\right) $

1) Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала два действия деления, а затем сложение полученных результатов.

1. Упростим первое частное: $\frac{x^2 - x}{x^2 + ax + a^2} : \frac{x^2 - 1}{x^3 - a^3}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (разность кубов и разность квадратов):

$\frac{x^2 - x}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{x^3 - a^3}{x^2 - 1} = \frac{x(x - 1)}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{(x - a)(x^2 + ax + a^2)}{(x - 1)(x + 1)}$

Сократим общие множители $(x - 1)$ и $(x^2 + ax + a^2)$:

$\frac{x(x-a)}{x+1}$

2. Упростим второе частное: $\frac{x^3 + a^3}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - ax + a^2}{ax - a}$.

Аналогично, заменим деление на умножение и разложим на множители (сумма кубов, разность квадратов и вынесение общего множителя):

$\frac{x^3 + a^3}{x^2 - 1} \cdot \frac{ax - a}{x^2 - ax + a^2} = \frac{(x + a)(x^2 - ax + a^2)}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{a(x - 1)}{x^2 - ax + a^2}$

Сократим общие множители $(x - 1)$ и $(x^2 - ax + a^2)$:

$\frac{a(x+a)}{x+1}$

3. Сложим полученные дроби. Так как у них одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{x(x - a)}{x + 1} + \frac{a(x + a)}{x + 1} = \frac{x(x - a) + a(x + a)}{x + 1} = \frac{x^2 - ax + ax + a^2}{x + 1} = \frac{x^2 + a^2}{x + 1}$

Ответ: $\frac{x^2 + a^2}{x + 1}$

2) Сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первой скобке: $\frac{k+x}{x^2-kx+k^2} - \frac{1}{k+x}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $(k^2-kx+x^2)(k+x) = k^3+x^3$ (формула суммы кубов).

$\frac{(k+x)(k+x)}{(k^2-kx+x^2)(k+x)} - \frac{1(k^2-kx+x^2)}{(k+x)(k^2-kx+x^2)} = \frac{(k+x)^2 - (k^2-kx+x^2)}{k^3+x^3}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{(k^2+2kx+x^2) - (k^2-kx+x^2)}{k^3+x^3} = \frac{k^2+2kx+x^2 - k^2+kx-x^2}{k^3+x^3} = \frac{3kx}{k^3+x^3}$

2. Упростим выражение во второй скобке: $\frac{k^2+2x^2}{k^3+x^3} - \frac{k+2x}{k^2-kx+x^2}$.

Общий знаменатель также $k^3+x^3$.

$\frac{k^2+2x^2}{k^3+x^3} - \frac{(k+2x)(k+x)}{(k^2-kx+x^2)(k+x)} = \frac{k^2+2x^2 - (k+2x)(k+x)}{k^3+x^3}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{k^2+2x^2 - (k^2+kx+2kx+2x^2)}{k^3+x^3} = \frac{k^2+2x^2 - (k^2+3kx+2x^2)}{k^3+x^3} = \frac{k^2+2x^2 - k^2-3kx-2x^2}{k^3+x^3} = \frac{-3kx}{k^3+x^3}$

3. Выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2:

$(\frac{3kx}{k^3+x^3}) : (\frac{-3kx}{k^3+x^3}) = \frac{3kx}{k^3+x^3} \cdot \frac{k^3+x^3}{-3kx}$

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$-1$

Ответ: $-1$