Номер 6.98, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93-6.104 упростите выражения.

6.98. 1) $(m+1-\frac{1}{1-m}):(m-\frac{m^2}{m-1});$

2) $(\frac{2ab}{4a^2-9b^2} - \frac{b}{2a-3b}) : (1 - \frac{2a-3b}{2a+3b});$

3) $\frac{b-c}{a+b} - \frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2};$

4) $\frac{a^2-4}{x^2-9} : \frac{a^2-2a}{xy+3y} + \frac{2-y}{x-3}.$

1) Упростим поочередно выражения в скобках, а затем выполним деление. Заметим, что $1-m = -(m-1)$.

Первая скобка: $m+1-\frac{1}{1-m} = m+1+\frac{1}{m-1} = \frac{(m+1)(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-1+1}{m-1} = \frac{m^2}{m-1}$.

Вторая скобка: $m-\frac{m^2}{m-1} = \frac{m(m-1)}{m-1} - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m^2-m-m^2}{m-1} = \frac{-m}{m-1}$.

Теперь выполним деление: $\frac{m^2}{m-1} : \frac{-m}{m-1} = \frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{-m} = \frac{m^2 \cdot (m-1)}{(m-1) \cdot (-m)} = \frac{m}{-1} = -m$.

Ответ: $-m$.

2) Сначала выполним действия в скобках, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Первая скобка: $\frac{2ab}{4a^2-9b^2}-\frac{b}{2a-3b} = \frac{2ab}{(2a-3b)(2a+3b)} - \frac{b(2a+3b)}{(2a-3b)(2a+3b)} = \frac{2ab - (2ab+3b^2)}{(2a-3b)(2a+3b)} = \frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)}$.

Вторая скобка: $1-\frac{2a-3b}{2a+3b} = \frac{2a+3b}{2a+3b} - \frac{2a-3b}{2a+3b} = \frac{2a+3b-(2a-3b)}{2a+3b} = \frac{2a+3b-2a+3b}{2a+3b} = \frac{6b}{2a+3b}$.

Выполним деление: $\frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)} : \frac{6b}{2a+3b} = \frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)} \cdot \frac{2a+3b}{6b} = \frac{-3b^2 \cdot (2a+3b)}{(2a-3b)(2a+3b) \cdot 6b} = \frac{-3b^2}{6b(2a-3b)} = \frac{-b}{2(2a-3b)}$ или $\frac{b}{2(3b-2a)}$.

Ответ: $\frac{-b}{2(2a-3b)}$.

3) Согласно порядку действий, сначала выполним умножение, предварительно разложив числители и знаменатели дробей на множители.

$\frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2} = \frac{b(a-b)}{a(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)} = \frac{b(a-b)(a-c)(a+c)}{a(a-c)(a-b)(a+b)} = \frac{b(a+c)}{a(a+b)}$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{b-c}{a+b} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)}$. Общий знаменатель $a(a+b)$.

$\frac{a(b-c)}{a(a+b)} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)} = \frac{ab-ac-(ab+bc)}{a(a+b)} = \frac{ab-ac-ab-bc}{a(a+b)} = \frac{-ac-bc}{a(a+b)} = \frac{-c(a+b)}{a(a+b)} = -\frac{c}{a}$.

Ответ: $-\frac{c}{a}$.

4) Сначала выполним деление, а затем сложение.

Разложим на множители числители и знаменатели в первом действии: $\frac{a^2-4}{x^2-9} : \frac{a^2-2a}{xy+3y} = \frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)} : \frac{a(a-2)}{y(x+3)}$.

Перевернем вторую дробь и выполним умножение: $\frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{y(x+3)}{a(a-2)} = \frac{(a+2)y}{a(x-3)}$.

Теперь выполним сложение: $\frac{y(a+2)}{a(x-3)} + \frac{2-y}{x-3}$. Общий знаменатель $a(x-3)$.

$\frac{y(a+2)}{a(x-3)} + \frac{a(2-y)}{a(x-3)} = \frac{ay+2y+2a-ay}{a(x-3)} = \frac{2y+2a}{a(x-3)} = \frac{2(a+y)}{a(x-3)}$.

Ответ: $\frac{2(a+y)}{a(x-3)}$.