Номер 6.94, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93-6.104 упростите выражения.

6.94. 1) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x});$

2) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a});$

3) $\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a+b}{b};$

4) $\frac{x-y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}.$

1) Сначала упростим выражения в скобках, приводя дроби к общему знаменателю. $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x}) = \frac{x \cdot x - 1 \cdot y^2}{xy^2} : \frac{1 \cdot x + 1 \cdot y}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2} : \frac{x+y}{xy}$. Теперь заменим деление умножением на обратную дробь. Числитель $x^2-y^2$ разложим по формуле разности квадратов. $\frac{x^2 - y^2}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{x+y}} = \frac{x-y}{y}$.

Ответ: $\frac{x-y}{y}$.

2) Приведем к общему знаменателю выражения в каждой из скобок и вынесем общие множители. $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a}) = \frac{am+a^2}{m^3} : \frac{m^2+am}{a^2} = \frac{a(m+a)}{m^3} : \frac{m(m+a)}{a^2}$. Выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь, и сократим одинаковые множители: $\frac{a(m+a)}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m(m+a)} = \frac{a( \cancel{m+a} )}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m( \cancel{m+a} )} = \frac{a \cdot a^2}{m^3 \cdot m} = \frac{a^3}{m^4}$.

Ответ: $\frac{a^3}{m^4}$.

3) Согласно порядку действий, сначала выполним деление. Для этого вынесем общий множитель $b$ в числителе и заменим деление умножением на обратную дробь. $\frac{ab+b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a+b}{b} = \frac{b(a+b)}{3} \cdot \frac{3a}{b^3} + \frac{a+b}{b}$. Сократим дробь: $\frac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}a}{b^{\cancel{3}}2} + \frac{a+b}{b} = \frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{a+b}{b}$. Теперь выполним сложение, приведя дроби к общему знаменателю $b^2$: $\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{(a+b) \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a(a+b)+b(a+b)}{b^2}$. Вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе: $\frac{(a+b)(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)^2}{b^2}$.

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{b^2}$.

4) Сначала выполним умножение. Разложим на множители числитель $x^2-xy = x(x-y)$ и сократим дробь. $\frac{x-y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2-xy}{5y} = \frac{x-y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x(x-y)}{5y} = \frac{x-y}{x} - \frac{\cancel{5y}}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{5y}} = \frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x} = 0$.

Ответ: $0$.