Номер 6.87, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.87. Дано целое число $a+\frac{1}{a}$. Докажите, что числа $a^2+\frac{1}{a^2}$ и $a^3+\frac{1}{a^3}$ также являются целыми.

По условию задачи, выражение $a + \frac{1}{a}$ является целым числом. Обозначим это число через $k$, то есть $a + \frac{1}{a} = k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

Доказательство для $a^2 + \frac{1}{a^2}$

Чтобы доказать, что $a^2 + \frac{1}{a^2}$ является целым числом, мы выразим это выражение через $k$. Для этого возведем в квадрат обе части равенства $a + \frac{1}{a} = k$. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a + \frac{1}{a})^2 = k^2$

$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = k^2$

$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = k^2$

Теперь выразим $a^2 + \frac{1}{a^2}$ из полученного уравнения:

$a^2 + \frac{1}{a^2} = k^2 - 2$

Поскольку $k$ является целым числом по условию, то $k^2$ также является целым числом. Разность двух целых чисел ($k^2$ и $2$) всегда является целым числом. Следовательно, $a^2 + \frac{1}{a^2}$ является целым числом.

Ответ: Так как $a^2 + \frac{1}{a^2} = k^2 - 2$ и $k$ — целое число, то $a^2 + \frac{1}{a^2}$ также является целым числом.

Доказательство для $a^3 + \frac{1}{a^3}$

Аналогично, докажем, что $a^3 + \frac{1}{a^3}$ является целым числом. Для этого воспользуемся формулой куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$ и уже известными нам данными.

Возведем выражение $a + \frac{1}{a}$ в куб:

$(a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + (\frac{1}{a})^3 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a} (a + \frac{1}{a})$

$(a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3(a + \frac{1}{a})$

Подставим известное значение $k = a + \frac{1}{a}$:

$k^3 = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3k$

Выразим $a^3 + \frac{1}{a^3}$ из этого равенства:

$a^3 + \frac{1}{a^3} = k^3 - 3k$

Поскольку $k$ — целое число, то $k^3$ и $3k$ также являются целыми числами. Разность двух целых чисел ($k^3$ и $3k$) всегда является целым числом. Следовательно, $a^3 + \frac{1}{a^3}$ является целым числом.

Ответ: Так как $a^3 + \frac{1}{a^3} = k^3 - 3k$ и $k$ — целое число, то $a^3 + \frac{1}{a^3}$ также является целым числом.