Номер 6.85, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.82-6.85 упростите выражения.

6.85. 1) $\frac{a^2-1}{n^2+an} \cdot \left(\frac{1}{1-\frac{1}{n}}-1\right) \cdot \frac{a-an^3-n^4+n}{1-a^2};$

2) $\frac{2a^2(a+c)^{2n}-0.5}{an^2-a^3-2a^2-a} : \frac{2a(a+c)^n-1}{a^2c-a(nc-c)}$

1) Заданное выражение: $ \frac{a^2 - 1}{n^2 + an} \cdot \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} - 1 \right) \cdot \frac{a - an^3 - n^4 + n}{1 - a^2} $.

Упростим выражение по частям.

1. Упростим выражение в скобках:

$ \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} - 1 = \frac{1}{\frac{n-1}{n}} - 1 = \frac{n}{n-1} - 1 = \frac{n - (n-1)}{n-1} = \frac{n-n+1}{n-1} = \frac{1}{n-1} $.

2. Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:

$ \frac{a^2 - 1}{n^2 + an} = \frac{(a-1)(a+1)}{n(n+a)} $.

3. Разложим на множители числитель и знаменатель третьей дроби:

Числитель: $ a - an^3 - n^4 + n = (a - an^3) + (n - n^4) = a(1-n^3) + n(1-n^3) = (a+n)(1-n^3) $. Используя формулу разности кубов $ 1-n^3 = (1-n)(1+n+n^2) $, получаем $ (a+n)(1-n)(1+n+n^2) $.

Знаменатель: $ 1 - a^2 = (1-a)(1+a) $.

Таким образом, третья дробь равна $ \frac{(a+n)(1-n)(1+n+n^2)}{(1-a)(1+a)} $.

4. Теперь перемножим все упрощенные части:

$ \frac{(a-1)(a+1)}{n(n+a)} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{(a+n)(1-n)(1+n+n^2)}{(1-a)(1+a)} $.

Заметим, что $ a-1 = -(1-a) $ и $ n-1 = -(1-n) $. Перепишем выражение для удобства сокращения:

$ \frac{-(1-a)(a+1)}{n(n+a)} \cdot \frac{1}{-(1-n)} \cdot \frac{(a+n)(1-n)(1+n+n^2)}{(1-a)(a+1)} $.

Сократим одинаковые множители:

$ \frac{\cancel{-(1-a)}\cancel{(a+1)}}{n\cancel{(n+a)}} \cdot \frac{1}{-\cancel{(1-n)}} \cdot \frac{\cancel{(a+n)}\cancel{(1-n)}(1+n+n^2)}{\cancel{(1-a)}\cancel{(a+1)}} $

После сокращения остается:

$ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{-1} \cdot \frac{-(1+n+n^2)}{1} = \frac{-(1+n+n^2)}{-n} = \frac{1+n+n^2}{n} $.

Ответ: $ \frac{1+n+n^2}{n} $

2) Заданное выражение: $ \frac{2a^2(a+c)^{2n} - 0.5}{an^2 - a^3 - 2a^2 - a} : \frac{2a(a+c)^n - 1}{a^2c - a(nc - c)} $.

Деление дробей заменим на умножение на обратную дробь:

$ \frac{2a^2(a+c)^{2n} - 0.5}{an^2 - a^3 - 2a^2 - a} \cdot \frac{a^2c - a(nc - c)}{2a(a+c)^n - 1} $.

Упростим каждую часть выражения.

1. Числитель первой дроби: $ 2a^2(a+c)^{2n} - 0.5 = 2a^2((a+c)^n)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( 4a^2((a+c)^n)^2 - 1 \right) $.

Это разность квадратов $ (2a(a+c)^n)^2 - 1^2 $:

$ \frac{1}{2}(2a(a+c)^n - 1)(2a(a+c)^n + 1) $.

2. Знаменатель первой дроби: $ an^2 - a^3 - 2a^2 - a = a(n^2 - a^2 - 2a - 1) = a(n^2 - (a^2+2a+1)) $.

Это разность квадратов $ n^2 - (a+1)^2 $:

$ a(n - (a+1))(n + (a+1)) = a(n-a-1)(n+a+1) $.

3. Числитель второй дроби (в перевернутом виде): $ a^2c - a(nc-c) = a^2c - anc + ac = ac(a-n+1) $.

4. Знаменатель второй дроби (в перевернутом виде): $ 2a(a+c)^n - 1 $.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n - 1)(2a(a+c)^n + 1)}{a(n-a-1)(n+a+1)} \cdot \frac{ac(a-n+1)}{2a(a+c)^n - 1} $.

Сократим множитель $ (2a(a+c)^n - 1) $:

$ \frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n + 1)}{a(n-a-1)(n+a+1)} \cdot ac(a-n+1) $.

Заметим, что $ a-n+1 = -(n-a-1) $. Подставим и сократим $ (n-a-1) $:

$ \frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n + 1)}{a\cancel{(n-a-1)}(n+a+1)} \cdot ac(-\cancel{(n-a-1)}) = \frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n + 1)}{a(n+a+1)} \cdot (-ac) $.

Сократим $ a $:

$ \frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n + 1)}{n+a+1} \cdot (-c) = -\frac{c(2a(a+c)^n + 1)}{2(n+a+1)} $.

Ответ: $ -\frac{c(2a(a+c)^n + 1)}{2(n+a+1)} $