Номер 6.90, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.90. Постройте в одной и той же системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = x + 2$. Найдите с помощью них координаты точек их пересечения.

Для решения задачи необходимо построить графики функций $y = x^2$ и $y = x + 2$ в одной системе координат и найти точки, в которых они пересекаются.

Сначала построим график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, точке $(0, 0)$. Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих параболе, составив таблицу значений:

Далее построим график функции $y = x + 2$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Координаты первой точки: $(0, 2)$.
• Если $x = -2$, то $y = -2 + 2 = 0$. Координаты второй точки: $(-2, 0)$.

Построив оба графика в одной системе координат, мы можем определить координаты точек их пересечения. Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Первая точка пересечения имеет координаты $(-1, 1)$, а вторая — $(2, 4)$.

Для проверки правильности найденных по графику координат решим систему уравнений аналитически. В точках пересечения значения $y$ для обеих функций совпадают, поэтому можно приравнять их правые части:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-1$. Таким образом, абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие ординаты $y$ для каждого $x$, подставив их в уравнение прямой $y = x + 2$:

Для $x_1 = 2$: $y_1 = 2 + 2 = 4$.

Для $x_2 = -1$: $y_2 = -1 + 2 = 1$.

Таким образом, аналитическое решение дает две точки пересечения: $(2, 4)$ и $(-1, 1)$. Эти координаты совпадают с теми, что мы определили с помощью графиков.

Ответ: $(-1, 1)$, $(2, 4)$.