Номер 6.84, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.82-6.85 упростите выражения.

6.84. 1) $\frac{\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a}}{\frac{1}{1-a} - \frac{1}{1+a}}$;

2) $\frac{\frac{x}{x-1} - \frac{x+1}{x}}{\frac{x}{x+1} - \frac{x-1}{x}}$;

3) $\frac{x - \frac{ay}{y-a}}{y - \frac{ax}{x-a}}$.

1) Данное выражение является многоэтажной дробью. Упростим сначала ее числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $ \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (1-a)(1+a) = 1-a^2 $.

$ \frac{1 \cdot (1+a)}{(1-a)(1+a)} + \frac{1 \cdot (1-a)}{(1+a)(1-a)} = \frac{1+a+1-a}{1-a^2} = \frac{2}{1-a^2} $.

Знаменатель: $ \frac{1}{1-a} - \frac{1}{1+a} $. Общий знаменатель тот же $ 1-a^2 $.

$ \frac{1 \cdot (1+a)}{(1-a)(1+a)} - \frac{1 \cdot (1-a)}{(1+a)(1-a)} = \frac{1+a-(1-a)}{1-a^2} = \frac{1+a-1+a}{1-a^2} = \frac{2a}{1-a^2} $.

Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель:

$ \frac{\frac{2}{1-a^2}}{\frac{2a}{1-a^2}} = \frac{2}{1-a^2} \cdot \frac{1-a^2}{2a} = \frac{\cancel{2}}{\cancel{1-a^2}} \cdot \frac{\cancel{1-a^2}}{\cancel{2}a} = \frac{1}{a} $.

Ответ: $ \frac{1}{a} $

2) Упростим числитель и знаменатель основной дроби.

Числитель: $ \frac{x}{x-1} - \frac{x+1}{x} $. Общий знаменатель $ x(x-1) $.

$ \frac{x \cdot x}{x(x-1)} - \frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2 - (x^2-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x(x-1)} = \frac{1}{x(x-1)} $.

Знаменатель: $ \frac{x}{x+1} - \frac{x-1}{x} $. Общий знаменатель $ x(x+1) $.

$ \frac{x \cdot x}{x(x+1)} - \frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)} = \frac{x^2 - (x^2-1)}{x(x+1)} = \frac{x^2-x^2+1}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} $.

Теперь выполним деление полученных дробей:

$ \frac{\frac{1}{x(x-1)}}{\frac{1}{x(x+1)}} = \frac{1}{x(x-1)} \cdot \frac{x(x+1)}{1} = \frac{x+1}{x-1} $.

Ответ: $ \frac{x+1}{x-1} $

3) Упростим числитель и знаменатель, приведя выражения в них к общему знаменателю.

Числитель: $ x - \frac{ay}{y-a} $. Общий знаменатель $ y-a $.

$ \frac{x(y-a)}{y-a} - \frac{ay}{y-a} = \frac{xy - ax - ay}{y-a} $.

Знаменатель: $ y - \frac{ax}{x-a} $. Общий знаменатель $ x-a $.

$ \frac{y(x-a)}{x-a} - \frac{ax}{x-a} = \frac{xy - ay - ax}{x-a} $.

Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель. Это деление дробей, которое заменяется на умножение на обратную дробь:

$ \frac{\frac{xy-ax-ay}{y-a}}{\frac{xy-ay-ax}{x-a}} = \frac{xy-ax-ay}{y-a} \cdot \frac{x-a}{xy-ay-ax} $.

Сократим одинаковое выражение $ (xy-ax-ay) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{x-a}{y-a} $.

Ответ: $ \frac{x-a}{y-a} $