Номер 6.77, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.77. 1) $ \frac{m^5 + m^4 + m^3}{m^3 + m^2} \cdot \frac{m^5 + m^4}{m^4 + m^3 + m^2}; $

2) $ \frac{n^2 - n^4 + n^6}{1 - n} \cdot \frac{n^2 - 1}{n^5 - n^3 + n}; $

3) $ \frac{a - a^3}{a^6 + a^2} \cdot \frac{a^5 - a}{a^5 + a}; $

4) $ \frac{9x^2 - x^6}{x^5 + x^7} : \frac{x^4 - 3x^2}{x^9 + x^7}. $

1)Чтобы упростить данное выражение, сначала разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Выражение: $ \frac{m^5 + m^4 + m^3}{m^3 + m^2} \cdot \frac{m^5 + m^4}{m^4 + m^3 + m^2} $

Факторизация первой дроби:

Числитель: $ m^5 + m^4 + m^3 = m^3(m^2 + m + 1) $

Знаменатель: $ m^3 + m^2 = m^2(m + 1) $

Факторизация второй дроби:

Числитель: $ m^5 + m^4 = m^4(m + 1) $

Знаменатель: $ m^4 + m^3 + m^2 = m^2(m^2 + m + 1) $

Подставим разложенные на множители выражения обратно в исходное:

$ \frac{m^3(m^2 + m + 1)}{m^2(m + 1)} \cdot \frac{m^4(m + 1)}{m^2(m^2 + m + 1)} $

Теперь мы можем сократить общие множители. Множитель $ (m^2 + m + 1) $ сокращается в числителе первой дроби и знаменателе второй. Множитель $ (m + 1) $ сокращается в знаменателе первой дроби и числителе второй.

После сокращения получаем:

$ \frac{m^3}{m^2} \cdot \frac{m^4}{m^2} = \frac{m^3 \cdot m^4}{m^2 \cdot m^2} = \frac{m^{3+4}}{m^{2+2}} = \frac{m^7}{m^4} = m^{7-4} = m^3 $

Ответ: $ m^3 $

2)Упростим выражение $ \frac{n^2 - n^4 + n^6}{1 - n} \cdot \frac{n^2 - 1}{n^5 - n^3 + n} $ .

Разложим на множители числители и знаменатели:

$ n^2 - n^4 + n^6 = n^2(n^4 - n^2 + 1) $

$ 1 - n = -(n - 1) $

$ n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) $

$ n^5 - n^3 + n = n(n^4 - n^2 + 1) $

Подставим разложенные выражения в исходное:

$ \frac{n^2(n^4 - n^2 + 1)}{-(n - 1)} \cdot \frac{(n - 1)(n + 1)}{n(n^4 - n^2 + 1)} $

Сократим общие множители $ (n^4 - n^2 + 1) $ , $ (n - 1) $ и $ n $ :

$ \frac{n}{-1} \cdot \frac{n + 1}{1} = -n(n + 1) = -n^2 - n $

Ответ: $ -n(n+1) $

3)Рассмотрим выражение $ \frac{a-a^3}{a^6+a^2} \cdot \frac{a^5-a}{a^5+a} $ . Знак умножения в условии, скорее всего, является опечаткой, и должна быть операция деления, так как это приводит к значительному упрощению. Решим задачу, предполагая, что операция — деление:

$ \frac{a-a^3}{a^6+a^2} : \frac{a^5-a}{a^5+a} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{a-a^3}{a^6+a^2} \cdot \frac{a^5+a}{a^5-a} $

Разложим на множители числители и знаменатели:

$ a-a^3 = a(1-a^2) $

$ a^6+a^2 = a^2(a^4+1) $

$ a^5+a = a(a^4+1) $

$ a^5-a = a(a^4-1) $

Подставим в выражение:

$ \frac{a(1-a^2)}{a^2(a^4+1)} \cdot \frac{a(a^4+1)}{a(a^4-1)} = \frac{a^2(1-a^2)(a^4+1)}{a^2 \cdot a(a^4+1)(a^4-1)} = \frac{1-a^2}{a(a^4-1)} $

Используем формулы разности квадратов: $ 1-a^2 = -(a^2-1) $ и $ a^4-1 = (a^2-1)(a^2+1) $ .

$ \frac{-(a^2-1)}{a(a^2-1)(a^2+1)} $

Сокращаем общий множитель $ (a^2-1) $ :

$ \frac{-1}{a(a^2+1)} = -\frac{1}{a^3+a} $

Ответ: $ -\frac{1}{a(a^2+1)} $

4)Упростим выражение $ \frac{9x^2 - x^6}{x^5 + x^7} : \frac{x^4 - 3x^2}{x^9 + x^7} $ .

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{9x^2 - x^6}{x^5 + x^7} \cdot \frac{x^9 + x^7}{x^4 - 3x^2} $

Разложим все числители и знаменатели на множители:

$ 9x^2 - x^6 = x^2(9 - x^4) = x^2(3-x^2)(3+x^2) $

$ x^5 + x^7 = x^5(1 + x^2) $

$ x^9 + x^7 = x^7(x^2 + 1) $

$ x^4 - 3x^2 = x^2(x^2 - 3) $

Подставим в выражение:

$ \frac{x^2(3-x^2)(3+x^2)}{x^5(1 + x^2)} \cdot \frac{x^7(x^2 + 1)}{x^2(x^2 - 3)} $

Заметим, что $ 3-x^2 = -(x^2-3) $ . Перепишем выражение:

$ \frac{-x^2(x^2-3)(3+x^2)}{x^5(1 + x^2)} \cdot \frac{x^7(1 + x^2)}{x^2(x^2 - 3)} $

Сократим общие множители $ (x^2-3) $ , $ (1+x^2) $ , и $ x^2 $ :

$ \frac{-(3+x^2)}{x^5} \cdot \frac{x^7}{1} = \frac{-x^7(x^2+3)}{x^5} $

Сократим степени $ x $ :

$ -x^{7-5}(x^2+3) = -x^2(x^2+3) = -x^4 - 3x^2 $

Ответ: $ -x^2(x^2+3) $