Номер 6.82, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.82-6.85 упростите выражения.

6.82. 1) $\frac{3a^2 + 3ab + 3b^2}{4a + 4b} : \frac{2a^2 - 2b^2}{9a^3 - 9b^3}$;

2) $\frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} : \frac{8x - 8y}{10x^3 + 10y^3}$;

3) $\frac{a^2 - 5a + 6}{a^2 + 7a + 12} : \frac{a^2 + 3a}{a^2 - 4a + 4}$;

4) $\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} : \frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9x + 14}$;

1) Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{3a^2 + 3ab + 3b^2}{4a + 4b} : \frac{2a^2 - 2b^2}{9a^3 - 9b^3} = \frac{3a^2 + 3ab + 3b^2}{4a + 4b} \cdot \frac{9a^3 - 9b^3}{2a^2 - 2b^2} $

Разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (разность квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и разность кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$):

$3a^2 + 3ab + 3b^2 = 3(a^2 + ab + b^2)$

$4a + 4b = 4(a + b)$

$9a^3 - 9b^3 = 9(a^3 - b^3) = 9(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a - b)(a + b)$

Подставим разложенные выражения обратно в произведение и сократим общий множитель $(a-b)$:

$ \frac{3(a^2 + ab + b^2)}{4(a + b)} \cdot \frac{9(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{3(a^2 + ab + b^2)}{4(a + b)} \cdot \frac{9(a^2 + ab + b^2)}{2(a + b)} $

Перемножим оставшиеся числители и знаменатели:

$ \frac{3 \cdot 9 \cdot (a^2 + ab + b^2)^2}{4 \cdot 2 \cdot (a + b)^2} = \frac{27(a^2 + ab + b^2)^2}{8(a + b)^2} $

Ответ: $ \frac{27(a^2 + ab + b^2)^2}{8(a+b)^2} $.

2) Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} : \frac{8x - 8y}{10x^3 + 10y^3} = \frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} \cdot \frac{10x^3 + 10y^3}{8x - 8y} $

Разложим на множители, используя формулы квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ и суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$5x^2 - 10xy + 5y^2 = 5(x^2 - 2xy + y^2) = 5(x - y)^2$

$2x^2 - 2xy + 2y^2 = 2(x^2 - xy + y^2)$

$10x^3 + 10y^3 = 10(x^3 + y^3) = 10(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

$8x - 8y = 8(x - y)$

Подставим в выражение и сократим общие множители $(x^2 - xy + y^2)$ и $(x - y)$:

$ \frac{5(x - y)^2}{2(x^2 - xy + y^2)} \cdot \frac{10(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{8(x - y)} = \frac{5(x - y)}{2} \cdot \frac{10(x + y)}{8} $

Перемножим и упростим:

$ \frac{50(x - y)(x + y)}{16} = \frac{25(x^2 - y^2)}{8} $

Ответ: $ \frac{25(x^2 - y^2)}{8} $.

3) Разложим на множители числители и знаменатели. Для разложения квадратных трехчленов вида $ax^2+bx+c$ находим их корни $x_1, x_2$ и представляем в виде $a(x-x_1)(x-x_2)$.

$a^2 - 5a + 6 = (a - 2)(a - 3)$ (корни 2 и 3)

$a^2 + 7a + 12 = (a + 3)(a + 4)$ (корни -3 и -4)

$a^2 + 3a = a(a + 3)$

$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$ (формула квадрата разности)

Подставим разложенные выражения в исходное произведение и сократим общие множители $(a-2)$ и $(a+3)$:

$ \frac{(a - 2)(a - 3)}{(a + 3)(a + 4)} \cdot \frac{a(a + 3)}{(a - 2)^2} = \frac{a - 3}{a + 4} \cdot \frac{a}{a - 2} $

Перемножим оставшиеся части:

$ \frac{a(a - 3)}{(a + 4)(a - 2)} $

Ответ: $ \frac{a(a - 3)}{(a + 4)(a - 2)} $.

4) Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} : \frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9x + 14} = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} \cdot \frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 + 7x + 12} $

Разложим на множители все квадратные трехчлены:

$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$ (корни 1 и -3)

$x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)$ (корни 2 и -5)

$x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7)$ (корни 2 и 7)

$x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$ (корни -3 и -4)

Подставим разложенные выражения и сократим общие множители $(x + 3)$ и $(x - 2)$:

$ \frac{(x - 1)(x + 3)}{(x - 2)(x + 5)} \cdot \frac{(x - 2)(x - 7)}{(x + 3)(x + 4)} = \frac{x - 1}{x + 5} \cdot \frac{x - 7}{x + 4} $

Перемножим оставшиеся дроби:

$ \frac{(x - 1)(x - 7)}{(x + 5)(x + 4)} $

Ответ: $ \frac{(x - 1)(x - 7)}{(x + 5)(x + 4)} $.