Номер 6.78, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.78.1) $ \frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} ; \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab} $

2) $ \frac{x^2 + ax - 3x - 3a}{x^2 - ax - 3x + 3a} ; \frac{x^2 + 4x - ax - 4a}{x^2 + 4x + ax + 4a} $

3) $ \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} ; \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab} $

4) $ \frac{m^2 + m - mn - n}{m^2 + m + mn + n} ; \frac{m^2 - m - mn + n}{m^2 - m + mn - n} $

1) Для решения данного примера необходимо разложить на множители числители и знаменатели дробей, а затем выполнить деление.

Разложим на множители многочлены методом группировки:

$a^2 + ax + ab + bx = a(a+x) + b(a+x) = (a+x)(a+b)$

$a^2 - ax - ab + bx = a(a-x) - b(a-x) = (a-x)(a-b)$

$a^2 - ax - bx + ab = a(a-x) - b(x-a) = a(a-x) + b(a-x) = (a-x)(a+b)$

$a^2 + ax - bx - ab = a(a+x) - b(x+a) = (a+x)(a-b)$

Теперь подставим разложенные многочлены в исходное выражение и выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{(a+x)(a+b)}{(a-x)(a-b)} : \frac{(a-x)(a+b)}{(a+x)(a-b)} = \frac{(a+x)(a+b)}{(a-x)(a-b)} \cdot \frac{(a+x)(a-b)}{(a-x)(a+b)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{(a+x)(a+b)(a+x)(a-b)}{(a-x)(a-b)(a-x)(a+b)} = \frac{(a+x)^2}{(a-x)^2} = \left(\frac{a+x}{a-x}\right)^2$

Ответ: $\left(\frac{a+x}{a-x}\right)^2$

2) Разложим на множители числители и знаменатели дробей методом группировки:

$x^2+ax-3x-3a = x(x+a) - 3(x+a) = (x+a)(x-3)$

$x^2-ax-3x+3a = x(x-a) - 3(x-a) = (x-a)(x-3)$

$x^2+4x-ax-4a = x(x+4) - a(x+4) = (x+4)(x-a)$

$x^2+4x+ax+4a = x(x+4) + a(x+4) = (x+4)(x+a)$

Подставим разложенные многочлены в выражение и выполним деление:

$\frac{(x+a)(x-3)}{(x-a)(x-3)} : \frac{(x+4)(x-a)}{(x+4)(x+a)} = \frac{(x+a)(x-3)}{(x-a)(x-3)} \cdot \frac{(x+4)(x+a)}{(x+4)(x-a)}$

Сократим общие множители:

$\frac{(x+a)(x-3)(x+4)(x+a)}{(x-a)(x-3)(x+4)(x-a)} = \frac{(x+a)^2}{(x-a)^2} = \left(\frac{x+a}{x-a}\right)^2$

Ответ: $\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^2$

3) Разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях:

$x^2-bx+ax-ab = x(x-b) + a(x-b) = (x-b)(x+a)$

$x^2+bx-ax-ab = x(x+b) - a(x+b) = (x+b)(x-a)$

$x^2+bx+ax+ab = x(x+b) + a(x+b) = (x+b)(x+a)$

$x^2-bx-ax+ab = x(x-b) - a(x-b) = (x-b)(x-a)$

Выполним деление, подставив разложенные выражения:

$\frac{(x-b)(x+a)}{(x+b)(x-a)} : \frac{(x+b)(x+a)}{(x-b)(x-a)} = \frac{(x-b)(x+a)}{(x+b)(x-a)} \cdot \frac{(x-b)(x-a)}{(x+b)(x+a)}$

Сократим общие множители:

$\frac{(x-b)(x+a)(x-b)(x-a)}{(x+b)(x-a)(x+b)(x+a)} = \frac{(x-b)^2}{(x+b)^2} = \left(\frac{x-b}{x+b}\right)^2$

Ответ: $\left(\frac{x-b}{x+b}\right)^2$

4) Разложим на множители числители и знаменатели дробей методом группировки:

$m^2+m-mn-n = m(m+1) - n(m+1) = (m+1)(m-n)$

$m^2+m+mn+n = m(m+1) + n(m+1) = (m+1)(m+n)$

$m^2-m-mn+n = m(m-1) - n(m-1) = (m-1)(m-n)$

$m^2-m+mn-n = m(m-1) + n(m-1) = (m-1)(m+n)$

Подставим разложенные многочлены в выражение и выполним деление. Заметим, что в каждой дроби можно сразу выполнить сокращение:

$\frac{(m+1)(m-n)}{(m+1)(m+n)} : \frac{(m-1)(m-n)}{(m-1)(m+n)} = \frac{m-n}{m+n} : \frac{m-n}{m+n}$

Деление выражения на само себя дает единицу (при условии, что делитель не равен нулю):

$\frac{m-n}{m+n} \cdot \frac{m+n}{m-n} = 1$

Ответ: $1$