Номер 6.73, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.73. 1) $\frac{a^2 - b^2}{6a^2b} : \frac{a+b}{3ab}$;

2) $\frac{x^2 + xy}{x} : \frac{xy + y^2}{y}$;

3) $\frac{a^2b - 4b^3}{3ab^2} : \frac{a^2b}{a^2 - 2ab}$;

4) $\frac{4m^2 - 9n^2}{m^2n^2} : \frac{2am + 3an}{2mn}$;

5) $\frac{x^2 - xy}{x^2 + xy} \cdot \frac{x^2y + xy^2}{xy}$;

6) $\frac{c+d}{c-d} : \frac{c^2+cd}{2c^2-2d^2}$.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Сначала разложим числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{a^2-b^2}{6a^2b^2} : \frac{a+b}{3ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{6a^2b^2} \cdot \frac{3ab}{a+b}$

Теперь сократим общие множители. Выражение $(a+b)$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому оно сокращается. Также сократим числовые коэффициенты и переменные: $3ab$ в числителе и $6a^2b^2$ в знаменателе. После сокращения от $6a^2b^2$ останется $2ab$.

$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{\cancel{6a^2b^2}_{2ab}} \cdot \frac{\cancel{3ab}}{\cancel{a+b}} = \frac{a-b}{2ab}$

Ответ: $\frac{a-b}{2ab}$

2) Для решения этого примера заменим деление на умножение на обратную дробь. Также вынесем общие множители в числителях за скобки.

$x^2+xy = x(x+y)$

$xy+y^2 = y(x+y)$

$\frac{x^2+xy}{x} : \frac{xy+y^2}{y} = \frac{x(x+y)}{x} \cdot \frac{y}{y(x+y)}$

Сокращаем одинаковые множители в числителях и знаменателях: $x$, $y$ и $(x+y)$. В результате все множители сокращаются.

$\frac{\cancel{x}\cancel{(x+y)}}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{y}}{\cancel{y}\cancel{(x+y)}} = 1$

Ответ: $1$

3) Заменяем деление дробей на умножение на обратную дробь. Раскладываем на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби.

$a^3b-4ab^3 = ab(a^2-4b^2) = ab(a-2b)(a+2b)$

$a^2-2ab = a(a-2b)$

Подставляем разложенные выражения в пример:

$\frac{a^3b-4ab^3}{3ab^2} : \frac{a^2b}{a^2-2ab} = \frac{ab(a-2b)(a+2b)}{3ab^2} \cdot \frac{a^2-2ab}{a^2b} = \frac{ab(a-2b)(a+2b)}{3ab^2} \cdot \frac{a(a-2b)}{a^2b}$

Объединим множители в числителе и знаменателе:

$\frac{a \cdot b \cdot (a-2b) \cdot (a+2b) \cdot a \cdot (a-2b)}{3 \cdot a \cdot b^2 \cdot a^2 \cdot b} = \frac{a^2b(a-2b)^2(a+2b)}{3a^3b^3}$

Сокращаем степени переменных $a$ и $b$.

$\frac{\cancel{a^2}\cancel{b}(a-2b)^2(a+2b)}{3\cancel{a^3}_a\cancel{b^3}_{b^2}} = \frac{(a-2b)^2(a+2b)}{3ab^2}$

Ответ: $\frac{(a-2b)^2(a+2b)}{3ab^2}$

4) Выполняем деление, умножая на обратную дробь. Раскладываем числитель первой дроби по формуле разности квадратов и выносим общий множитель в знаменателе второй дроби.

$4m^2-9n^2 = (2m-3n)(2m+3n)$

$2am+3an = a(2m+3n)$

$\frac{4m^2-9n^2}{m^2n^2} : \frac{2am+3an}{2mn} = \frac{(2m-3n)(2m+3n)}{m^2n^2} \cdot \frac{2mn}{a(2m+3n)}$

Сокращаем общие множители $(2m+3n)$, а также $mn$:

$\frac{(2m-3n)\cancel{(2m+3n)}}{\cancel{m^2n^2}_{mn}} \cdot \frac{2\cancel{mn}}{a\cancel{(2m+3n)}} = \frac{2(2m-3n)}{amn}$

Ответ: $\frac{2(2m-3n)}{amn}$

5) Выполняем умножение дробей. Для этого сначала выносим общие множители в числителях и знаменателях за скобки.

$x^2-xy = x(x-y)$

$x^2+xy = x(x+y)$

$x^2y+xy^2 = xy(x+y)$

$\frac{x^2-xy}{x^2+xy} \cdot \frac{x^2y+xy^2}{xy} = \frac{x(x-y)}{x(x+y)} \cdot \frac{xy(x+y)}{xy}$

Сокращаем общие множители $x$, $(x+y)$ и $xy$:

$\frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{x}\cancel{(x+y)}} \cdot \frac{\cancel{xy}\cancel{(x+y)}}{\cancel{xy}} = x-y$

Ответ: $x-y$

6) Заменяем деление на умножение на перевернутую дробь. Раскладываем на множители числитель и знаменатель второй дроби.

$c^2+cd = c(c+d)$

$2c^2-2d^2 = 2(c^2-d^2) = 2(c-d)(c+d)$

$\frac{c+d}{c-d} : \frac{c^2+cd}{2c^2-2d^2} = \frac{c+d}{c-d} \cdot \frac{2(c-d)(c+d)}{c(c+d)}$

Сокращаем общие множители $(c-d)$ и $(c+d)$:

$\frac{\cancel{c+d}}{\cancel{c-d}} \cdot \frac{2\cancel{(c-d)}(c+d)}{c\cancel{(c+d)}} = \frac{2(c+d)}{c}$

Ответ: $\frac{2(c+d)}{c}$