Номер 6.79, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.79. 1) $\left(a+\frac{a-b}{a+b}-b\right):\left(\frac{2a+1}{a^2-b^2}+1\right)$;

2) $\left(x-\frac{x+y}{x-y}+y\right):\left(1-\frac{2y+1}{x^2-y^2}\right)$;

3) $\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} \cdot \frac{x^4}{x^4-1}$;

4) $\left(\left(\frac{1-a}{a}:\frac{a}{1+a}\right):\frac{a^2}{1+a^2}\right):\frac{a^4-1}{a^4}$.

1) Упростим выражение по частям. Сначала выполним действия в первых скобках:

$\left(a + \frac{a-b}{a+b} - b\right) = (a-b) + \frac{a-b}{a+b}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю $(a+b)$:

$\frac{(a-b)(a+b)}{a+b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b) + (a-b)}{a+b}$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ в числителе:

$\frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b}$

Теперь упростим выражение во вторых скобках:

$\left(\frac{2a+1}{a^2-b^2} + 1\right)$

Приведем к общему знаменателю $(a^2-b^2)$:

$\frac{2a+1}{a^2-b^2} + \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+2a+1-b^2}{a^2-b^2}$

Сгруппируем слагаемые в числителе, чтобы выделить полный квадрат:

$\frac{(a^2+2a+1)-b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+1)^2-b^2}{a^2-b^2}$

Применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ к числителю и знаменателю:

$\frac{(a+1-b)(a+1+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b+1)(a+b+1)}{(a-b)(a+b)}$

Теперь выполним деление. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} : \frac{(a-b+1)(a+b+1)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b+1)(a+b+1)}$

Сократим общие множители $(a+b)$ и $(a+b+1)$:

$\frac{(a-b)}{1} \cdot \frac{(a-b)}{(a-b+1)} = \frac{(a-b)^2}{a-b+1}$

Ответ: $\frac{(a-b)^2}{a-b+1}$

2) Упростим выражение по действиям. Первое действие в скобках:

$\left(x - \frac{x+y}{x-y} + y\right) = (x+y) - \frac{x+y}{x-y}$

Вынесем общий множитель $(x+y)$:

$(x+y)\left(1 - \frac{1}{x-y}\right) = (x+y)\left(\frac{x-y}{x-y} - \frac{1}{x-y}\right) = (x+y)\frac{x-y-1}{x-y}$

Второе действие в скобках:

$\left(1 - \frac{2y+1}{x^2-y^2}\right)$

Приведем к общему знаменателю $(x^2-y^2)$:

$\frac{x^2-y^2}{x^2-y^2} - \frac{2y+1}{x^2-y^2} = \frac{x^2-y^2-(2y+1)}{x^2-y^2} = \frac{x^2-y^2-2y-1}{x^2-y^2}$

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$\frac{x^2-(y^2+2y+1)}{x^2-y^2} = \frac{x^2-(y+1)^2}{x^2-y^2}$

Применим формулу разности квадратов к числителю и знаменателю:

$\frac{(x-(y+1))(x+(y+1))}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{(x-y)(x+y)}$

Теперь выполним деление результатов:

$\frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} : \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y-1)(x+y+1)}$

Сократим общие множители $(x-y-1)$ и $(x-y)$:

$\frac{(x+y)}{1} \cdot \frac{(x+y)}{(x+y+1)} = \frac{(x+y)^2}{x+y+1}$

Ответ: $\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$

3) Выполним умножение дробей. Для этого перемножим их числители и знаменатели:

$\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} \cdot \frac{x^4}{x^4-1} = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)x^4}{x \cdot x \cdot x^2 \cdot (x^4-1)}$

Упростим числитель. Последовательно применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(x-1)(x+1) = x^2-1$

$(x^2-1)(x^2+1) = (x^2)^2-1^2 = x^4-1$

Таким образом, числитель равен $(x^4-1)x^4$.

Упростим знаменатель:

$x \cdot x \cdot x^2 \cdot (x^4-1) = x^{1+1+2}(x^4-1) = x^4(x^4-1)$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x^4-1)x^4}{x^4(x^4-1)}$

Сократим одинаковые множители $x^4$ и $(x^4-1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x^4-1)x^4}{x^4(x^4-1)} = 1$

Ответ: $1$

4) Выполним действия по порядку, начиная с внутренних скобок.

Первое действие — деление в самых внутренних скобках:

$\frac{1-a}{a} : \frac{a}{1+a} = \frac{1-a}{a} \cdot \frac{1+a}{a} = \frac{(1-a)(1+a)}{a^2}$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$\frac{1-a^2}{a^2}$

Второе действие — деление результата первого действия на следующую дробь:

$\left(\frac{1-a^2}{a^2}\right) : \frac{a^2}{1+a^2} = \frac{1-a^2}{a^2} \cdot \frac{1+a^2}{a^2} = \frac{(1-a^2)(1+a^2)}{a^4}$

Снова применяем формулу разности квадратов:

$\frac{1-a^4}{a^4}$

Третье, заключительное действие — деление результата второго действия на последнюю дробь:

$\frac{1-a^4}{a^4} : \frac{a^4-1}{a^4} = \frac{1-a^4}{a^4} \cdot \frac{a^4}{a^4-1}$

Сократим $a^4$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1-a^4}{a^4-1}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $1-a^4 = -(a^4-1)$.

$\frac{-(a^4-1)}{a^4-1} = -1$

Ответ: $-1$