Номер 6.80, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.80. Докажите, что при $x \ne y, x \ne 0, y \ne 0$ выражение $\frac{2}{xy} : \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)^2 - \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2}$ не зависит от значения переменных.

Для доказательства того, что выражение не зависит от значения переменных, необходимо его упростить. Выполним преобразования по действиям.

1. Первое действие — вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y-x}{xy}$

2. Второе действие — возведение результата в квадрат. Используем свойство $(y-x)^2 = (x-y)^2$:

$(\frac{y-x}{xy})^2 = \frac{(y-x)^2}{(xy)^2} = \frac{(x-y)^2}{x^2y^2}$

3. Третье действие — деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на перевернутую дробь:

$\frac{2}{xy} : \frac{(x-y)^2}{x^2y^2} = \frac{2}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{(x-y)^2}$

Сокращаем $xy$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \cdot x^2y^2}{xy \cdot (x-y)^2} = \frac{2xy}{(x-y)^2}$

4. Четвертое действие — вычитание. Подставим результат предыдущего действия в исходное выражение:

$\frac{2xy}{(x-y)^2} - \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2}$

Так как знаменатели у дробей одинаковые, объединяем их:

$\frac{2xy - (x^2+y^2)}{(x-y)^2} = \frac{2xy - x^2 - y^2}{(x-y)^2}$

5. Преобразуем числитель. Вынесем знак минус за скобку и сгруппируем члены, чтобы получить формулу квадрата разности:

$2xy - x^2 - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2) = -(x-y)^2$

6. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и выполним сокращение. Так как по условию $x \neq y$, то $(x-y)^2 \neq 0$.

$\frac{-(x-y)^2}{(x-y)^2} = -1$

В результате упрощения мы получили число $-1$. Так как это значение является константой, оно не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: -1.