Номер 6.81, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.81. Докажите тождество:

1) $\left(a-\frac{a^{2}+x^{2}}{a+x}\right)\left(\frac{2a}{x}+\frac{4a}{a-x}\right)=2a;$

2) $\frac{am^{2}-an^{2}}{m^{2}+2mn+n^{2}} : \frac{am^{2}-2amn+an^{2}}{3m+3n}=\frac{3}{m-n}$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя его к общему знаменателю $a+x$:

$ a - \frac{a^2 + x^2}{a + x} = \frac{a(a + x)}{a + x} - \frac{a^2 + x^2}{a + x} = \frac{a^2 + ax - (a^2 + x^2)}{a + x} = \frac{a^2 + ax - a^2 - x^2}{a + x} = \frac{ax - x^2}{a + x} $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:

$ \frac{x(a - x)}{a + x} $

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $x(a-x)$:

$ \frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x} = \frac{2a(a - x)}{x(a - x)} + \frac{4ax}{x(a - x)} = \frac{2a^2 - 2ax + 4ax}{x(a - x)} = \frac{2a^2 + 2ax}{x(a - x)} $

Вынесем общий множитель $2a$ за скобки в числителе:

$ \frac{2a(a + x)}{x(a - x)} $

3. Теперь перемножим результаты, полученные в шагах 1 и 2:

$ \left(\frac{x(a - x)}{a + x}\right) \cdot \left(\frac{2a(a + x)}{x(a - x)}\right) = \frac{x(a - x) \cdot 2a(a + x)}{(a + x) \cdot x(a - x)} $

4. Сократим полученную дробь на общие множители $x$, $(a+x)$ и $(a-x)$, при условии, что они не равны нулю:

$ \frac{\cancel{x}\cancel{(a - x)} \cdot 2a \cdot \cancel{(a + x)}}{\cancel{(a + x)} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{(a - x)}} = 2a $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть тождества. Тождество доказано.

Ответ: $2a$.

2) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Выполним деление дробей.

1. Для начала разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей.

Числитель первой дроби (вынесение общего множителя и формула разности квадратов):

$ am^2 - an^2 = a(m^2 - n^2) = a(m - n)(m + n) $

Знаменатель первой дроби (формула квадрата суммы):

$ m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2 $

Числитель второй дроби (вынесение общего множителя и формула квадрата разности):

$ am^2 - 2amn + an^2 = a(m^2 - 2mn + n^2) = a(m - n)^2 $

Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя):

$ 3m + 3n = 3(m + n) $

2. Подставим разложенные выражения в левую часть тождества:

$ \frac{a(m - n)(m + n)}{(m + n)^2} : \frac{a(m - n)^2}{3(m + n)} $

3. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):

$ \frac{a(m - n)(m + n)}{(m + n)^2} \cdot \frac{3(m + n)}{a(m - n)^2} $

4. Запишем всё в виде одной дроби и выполним сокращение:

$ \frac{a(m - n)(m + n) \cdot 3(m + n)}{a(m - n)^2(m + n)^2} = \frac{3a(m - n)(m + n)^2}{a(m - n)^2(m + n)^2} $

Сокращаем на общие множители $a$, $(m+n)^2$ и $(m-n)$:

$ \frac{3\cancel{a}\cancel{(m - n)}\cancel{(m + n)^2}}{\cancel{a}(m - n)^{\cancel{2}}\cancel{(m + n)^2}} = \frac{3}{m-n} $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть тождества. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{3}{m-n}$.