Номер 6.88, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.88. Представьте многочлен $x^8-16$ в виде произведения многочленов второй степени.

Для того чтобы разложить многочлен $x^8 - 16$ на множители второй степени, мы будем последовательно применять формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Сначала представим исходное выражение как разность квадратов.

$x^8 - 16 = (x^4)^2 - 4^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = x^4$ и $b = 4$:

$(x^4)^2 - 4^2 = (x^4 - 4)(x^4 + 4)$

Теперь у нас есть произведение двух многочленов. Разложим каждый из них на множители второй степени.

1. Разложим множитель $(x^4 - 4)$. Это снова разность квадратов, где $a = x^2$ и $b = 2$:

$x^4 - 4 = (x^2)^2 - 2^2 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)$

Множители $(x^2 - 2)$ и $(x^2 + 2)$ являются многочленами второй степени.

2. Разложим множитель $(x^4 + 4)$. Это выражение не является разностью квадратов, но его можно разложить на множители методом выделения полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем одночлен $4x^2$:

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$

Сгруппируем слагаемые. Первые три слагаемых образуют полный квадрат $(x^2 + 2)^2$, а $4x^2$ можно представить как $(2x)^2$.

$(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$

Теперь мы получили разность квадратов, где $a = x^2 + 2$ и $b = 2x$. Применим формулу:

$((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

Множители $(x^2 - 2x + 2)$ и $(x^2 + 2x + 2)$ также являются многочленами второй степени.

Теперь объединим все полученные множители:

$x^8 - 16 = (x^4 - 4)(x^4 + 4) = (x^2 - 2)(x^2 + 2)(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

Таким образом, исходный многочлен представлен в виде произведения четырех многочленов второй степени.

Ответ: $(x^2 - 2)(x^2 + 2)(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.