Номер 6.83, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.82-6.85 упростите выражения.

6.83. 1) $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$;

2) $\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}$;

3) $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2x}}{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2x^2}}$;

4) $\frac{a - \frac{x^2}{a}}{x - \frac{a^2}{x}}$.

1) Чтобы упростить данное выражение, приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} $

1. Упростим числитель. Общий знаменатель для $ x $ и $ y $ — это $ xy $.

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{y+x}{xy} $

2. Упростим знаменатель. Общий знаменатель также $ xy $.

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y-x}{xy} $

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$ \frac{\frac{y+x}{xy}}{\frac{y-x}{xy}} $

4. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$ \frac{y+x}{xy} \cdot \frac{xy}{y-x} $

5. Сократим общий множитель $ xy $ (при условии, что $ x \neq 0, y \neq 0 $):

$ \frac{y+x}{y-x} $

Ответ: $ \frac{y+x}{y-x} $

2) Упростим выражение, действуя аналогично предыдущему примеру.

Исходное выражение: $ \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}} $

1. Упростим числитель, приведя дроби к общему знаменателю $ ab $:

$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{ab} + \frac{b \cdot b}{ab} = \frac{a^2+b^2}{ab} $

2. Упростим знаменатель, также приведя к общему знаменателю $ ab $:

$ \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{ab} - \frac{b \cdot b}{ab} = \frac{a^2-b^2}{ab} $

3. Подставим упрощенные части в дробь:

$ \frac{\frac{a^2+b^2}{ab}}{\frac{a^2-b^2}{ab}} $

4. Разделим дроби:

$ \frac{a^2+b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{a^2-b^2} $

5. Сократим общий множитель $ ab $ (при условии, что $ a \neq 0, b \neq 0 $):

$ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $

Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $

3) Упростим данное выражение.

Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2x}}{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2x^2}} $

1. Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $ 2x $:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{2x} = \frac{2}{2x} - \frac{1}{2x} = \frac{2-1}{2x} = \frac{1}{2x} $

2. Упростим знаменатель, приведя к общему знаменателю $ 2x^2 $:

$ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2x^2} = \frac{2}{2x^2} - \frac{1}{2x^2} = \frac{2-1}{2x^2} = \frac{1}{2x^2} $

3. Подставим упрощенные части в дробь:

$ \frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x^2}} $

4. Разделим дроби:

$ \frac{1}{2x} \cdot \frac{2x^2}{1} = \frac{2x^2}{2x} $

5. Сократим дробь на $ 2x $ (при условии, что $ x \neq 0 $):

$ x $

Ответ: $ x $

4) Упростим последнее выражение.

Исходное выражение: $ \frac{a - \frac{x^2}{a}}{x - \frac{a^2}{x}} $

1. Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $ a $:

$ a - \frac{x^2}{a} = \frac{a^2}{a} - \frac{x^2}{a} = \frac{a^2-x^2}{a} $

2. Упростим знаменатель, приведя к общему знаменателю $ x $:

$ x - \frac{a^2}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{a^2}{x} = \frac{x^2-a^2}{x} $

3. Подставим упрощенные части в дробь:

$ \frac{\frac{a^2-x^2}{a}}{\frac{x^2-a^2}{x}} $

4. Разделим дроби:

$ \frac{a^2-x^2}{a} \cdot \frac{x}{x^2-a^2} $

5. Заметим, что $ a^2-x^2 = -(x^2-a^2) $. Подставим это в выражение:

$ \frac{-(x^2-a^2)}{a} \cdot \frac{x}{x^2-a^2} = \frac{-x(x^2-a^2)}{a(x^2-a^2)} $

6. Сократим общий множитель $ (x^2-a^2) $ (при условии, что $ x^2 \neq a^2 $):

$ -\frac{x}{a} $

Ответ: $ -\frac{x}{a} $