Номер 6.86, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.86. Найдите значение выражения:

1) $\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x}$ при $x = \frac{ab}{a-b}$;

2) $\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}$ при $x = \frac{2ab}{a^2-b^2}$; $y = \frac{2ab}{a^2+b^2}$.

1) Требуется найти значение выражения $\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x}$ при $x = \frac{ab}{a-b}$.

Для решения подставим значение $x$ в данное выражение. Удобнее будет сначала упростить каждое слагаемое по отдельности.

Найдем значение первого слагаемого $\frac{ax}{a+x}$:

Числитель: $ax = a \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2b}{a-b}$.

Знаменатель: $a+x = a + \frac{ab}{a-b} = \frac{a(a-b) + ab}{a-b} = \frac{a^2-ab+ab}{a-b} = \frac{a^2}{a-b}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{ax}{a+x} = \frac{\frac{a^2b}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}} = \frac{a^2b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2} = b$.

Найдем значение второго слагаемого $\frac{bx}{b-x}$:

Числитель: $bx = b \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{ab^2}{a-b}$.

Знаменатель: $b-x = b - \frac{ab}{a-b} = \frac{b(a-b)-ab}{a-b} = \frac{ab-b^2-ab}{a-b} = \frac{-b^2}{a-b}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{bx}{b-x} = \frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{-b^2}{a-b}} = \frac{ab^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{-b^2} = -a$.

Подставим найденные значения слагаемых в исходное выражение:

$\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} = b - (-a) = a+b$.

Ответ: $a+b$.

2) Требуется найти значение выражения $\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}$ при $x = \frac{2ab}{a^2-b^2}$ и $y = \frac{2ab}{a^2+b^2}$.

Для удобства вычислений преобразуем исходное выражение. Перевернем дробь:

$\frac{x^2y^2}{x^2-y^2} = \frac{1}{\frac{x^2-y^2}{x^2y^2}} = \frac{1}{\frac{x^2}{x^2y^2} - \frac{y^2}{x^2y^2}} = \frac{1}{\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}}$.

Теперь найдем значения $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{2ab}{a^2-b^2}} = \frac{a^2-b^2}{2ab}$.

$\frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{2ab}{a^2+b^2}} = \frac{a^2+b^2}{2ab}$.

Подставим эти выражения в знаменатель нашей преобразованной дроби $\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}$:

$\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} = \left(\frac{1}{y}\right)^2 - \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \left(\frac{a^2+b^2}{2ab}\right)^2 - \left(\frac{a^2-b^2}{2ab}\right)^2$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(a^2+b^2)^2}{(2ab)^2} - \frac{(a^2-b^2)^2}{(2ab)^2} = \frac{(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2}{4a^2b^2}$.

К числителю применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a^2+b^2$ и $B = a^2-b^2$:

$(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2 = ((a^2+b^2) - (a^2-b^2)) \cdot ((a^2+b^2) + (a^2-b^2))$

$= (a^2+b^2-a^2+b^2) \cdot (a^2+b^2+a^2-b^2) = (2b^2)(2a^2) = 4a^2b^2$.

Таким образом, значение знаменателя $\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}$ равно:

$\frac{4a^2b^2}{4a^2b^2} = 1$.

Следовательно, значение исходного выражения равно:

$\frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$.