Номер 6.93, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93-6.104 упростите выражения.

6.93. 1) $(\frac{a}{a+1}+1): (1-\frac{3a^2}{1-a^2});$

3) $(\frac{a}{x-a} - \frac{a}{x+a}) \cdot \frac{x^2+2ax+a^2}{2a^2};$

2) $(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5};$

4) $(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y}{x}) : (\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x}).$

1) Упростим выражение $\left(\frac{a}{a+1}+1\right) : \left(1-\frac{3a^2}{1-a^2}\right)$.

Сначала выполним действие в первой скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $a+1$:

$\frac{a}{a+1}+1 = \frac{a}{a+1}+\frac{a+1}{a+1} = \frac{a+a+1}{a+1} = \frac{2a+1}{a+1}$.

Затем выполним действие во второй скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $1-a^2$:

$1-\frac{3a^2}{1-a^2} = \frac{1-a^2}{1-a^2}-\frac{3a^2}{1-a^2} = \frac{1-a^2-3a^2}{1-a^2} = \frac{1-4a^2}{1-a^2}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на перевернутую дробь:

$\frac{2a+1}{a+1} : \frac{1-4a^2}{1-a^2} = \frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{1-a^2}{1-4a^2}$.

Разложим числитель второй дроби и знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$1-a^2 = (1-a)(1+a)$

$1-4a^2 = (1-2a)(1+2a)$

Подставим разложения в выражение и сократим общие множители:

$\frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{(1-a)(1+a)}{(1-2a)(1+2a)} = \frac{1-a}{1-2a}$.

Ответ: $\frac{1-a}{1-2a}$

2) Упростим выражение $\left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right) : \frac{4m}{10m-5}$.

Сначала выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель равен $(2m-1)(2m+1)$:

$\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)^2}{(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}$.

Применим к числителю формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(2m+1)^2 - (2m-1)^2 = ((2m+1)-(2m-1))((2m+1)+(2m-1)) = (2m+1-2m+1)(4m) = 2 \cdot 4m = 8m$.

Знаменатель по той же формуле равен $4m^2-1$. Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{8m}{4m^2-1} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}$.

Теперь выполним деление. Сначала упростим делитель, вынеся общий множитель в знаменателе:

$\frac{4m}{10m-5} = \frac{4m}{5(2m-1)}$.

Выполняем деление:

$\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} : \frac{4m}{5(2m-1)} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m}$.

Сокращаем общие множители $8m$ и $4m$ (остается 2), а также $(2m-1)$:

$\frac{2}{2m+1} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10}{2m+1}$.

Ответ: $\frac{10}{2m+1}$

3) Упростим выражение $\left(\frac{a}{x-a}-\frac{a}{x+a}\right) \cdot \frac{x^2+2ax+a^2}{2a^2}$.

Сначала выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель равен $(x-a)(x+a)$:

$\frac{a}{x-a}-\frac{a}{x+a} = \frac{a(x+a)-a(x-a)}{(x-a)(x+a)} = \frac{ax+a^2-ax+a^2}{x^2-a^2} = \frac{2a^2}{x^2-a^2}$.

Числитель второго множителя является полным квадратом: $x^2+2ax+a^2 = (x+a)^2$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{2a^2}{x^2-a^2} \cdot \frac{(x+a)^2}{2a^2}$.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$:

$\frac{2a^2}{(x-a)(x+a)} \cdot \frac{(x+a)^2}{2a^2}$.

Сократим общие множители $2a^2$ и $(x+a)$:

$\frac{1}{x-a} \cdot \frac{x+a}{1} = \frac{x+a}{x-a}$.

Ответ: $\frac{x+a}{x-a}$

4) Упростим выражение $\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)$.

Сначала упростим выражение в первых скобках (делимое). Общий знаменатель $xy^2$:

$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y}{x} = \frac{x^2 \cdot x}{y^2 \cdot x} + \frac{y \cdot y^2}{x \cdot y^2} = \frac{x^3+y^3}{xy^2}$.

Теперь упростим выражение во вторых скобках (делитель). Общий знаменатель также $xy^2$:

$\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{y^2 \cdot x} - \frac{1 \cdot xy}{y \cdot xy} + \frac{1 \cdot y^2}{x \cdot y^2} = \frac{x^2-xy+y^2}{xy^2}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{x^3+y^3}{xy^2} : \frac{x^2-xy+y^2}{xy^2} = \frac{x^3+y^3}{xy^2} \cdot \frac{xy^2}{x^2-xy+y^2}$.

Разложим числитель первой дроби по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy^2} \cdot \frac{xy^2}{x^2-xy+y^2}$.

Сократим общие множители $xy^2$ и $(x^2-xy+y^2)$:

$(x+y) \cdot 1 = x+y$.

Ответ: $x+y$