Номер 6.96, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93-6.104 упростите выражения.

6.96. 1) $\left(\frac{a+1}{2a-2} + \frac{6}{2a^2-2} - \frac{a+3}{2a+2}\right) \cdot \frac{4a^2-4}{3};$

2) $\left(\frac{3a}{1-3a} + \frac{2a}{3a+1}\right) : \frac{6a^2+10a}{1-6a+9a^2};$

3) $\left(x^2-1\right) \cdot \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}-1\right);$

4) $\left(1+\frac{a}{x}+\frac{a^2}{x^2}\right) \cdot \left(1-\frac{a}{x}\right) \cdot \frac{x^3}{a^3-x^3};$

1) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители:

$2a-2 = 2(a-1)$

$2a^2-2 = 2(a^2-1) = 2(a-1)(a+1)$

$2a+2 = 2(a+1)$

Общий знаменатель для дробей в скобках: $2(a-1)(a+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия в числителе:

$\frac{(a+1)(a+1)}{2(a-1)(a+1)} + \frac{6}{2(a-1)(a+1)} - \frac{(a+3)(a-1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1 + 6 - (a^2-a+3a-3)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+7 - (a^2+2a-3)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+7-a^2-2a+3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{10}{2(a-1)(a+1)} = \frac{5}{(a-1)(a+1)}$.

Теперь умножим полученный результат на вторую часть выражения:

$\frac{5}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{4a^2-4}{3} = \frac{5}{a^2-1} \cdot \frac{4(a^2-1)}{3}$.

Сократив $(a^2-1)$, получим:

$\frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3}$.

Ответ: $\frac{20}{3}$.

2) Сначала выполним сложение дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $(1-3a)(3a+1) = 1-9a^2$.

$\frac{3a}{1-3a} + \frac{2a}{3a+1} = \frac{3a(3a+1) + 2a(1-3a)}{(1-3a)(3a+1)} = \frac{9a^2+3a+2a-6a^2}{1-9a^2} = \frac{3a^2+5a}{1-9a^2} = \frac{a(3a+5)}{1-9a^2}$.

Теперь упростим делитель: 분모는 완전제곱식이고 분자는 공통인수를 묶어냅니다.

$\frac{6a^2+10a}{1-6a+9a^2} = \frac{2a(3a+5)}{(1-3a)^2}$.

Выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{a(3a+5)}{1-9a^2} : \frac{2a(3a+5)}{(1-3a)^2} = \frac{a(3a+5)}{(1-3a)(1+3a)} \cdot \frac{(1-3a)^2}{2a(3a+5)}$.

Сокращаем одинаковые множители $a$, $(3a+5)$ и $(1-3a)$:

$\frac{\cancel{a}\cancel{(3a+5)}}{\cancel{(1-3a)}(1+3a)} \cdot \frac{(1-3a)^{\cancel{2}}}{2\cancel{a}\cancel{(3a+5)}} = \frac{1-3a}{2(1+3a)}$.

Ответ: $\frac{1-3a}{2(1+3a)}$.

3) Упростим выражение в скобках, приведя все члены к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$.

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 1 = \frac{1(x+1) - 1(x-1) - 1(x^2-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1-x+1-x^2+1}{x^2-1} = \frac{3-x^2}{x^2-1}$.

Теперь умножим полученную дробь на $(x^2-1)$:

$(x^2-1) \cdot \frac{3-x^2}{x^2-1}$.

Сокращаем множитель $(x^2-1)$ и получаем $3-x^2$.

Ответ: $3-x^2$.

4) Заметим, что произведение первых двух множителей представляет собой формулу разности кубов: $(c-d)(c^2+cd+d^2) = c^3-d^3$.

В данном случае $c=1$ и $d=\frac{a}{x}$.

$(1-\frac{a}{x})(1+\frac{a}{x}+\frac{a^2}{x^2}) = 1^3 - (\frac{a}{x})^3 = 1 - \frac{a^3}{x^3}$.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$1 - \frac{a^3}{x^3} = \frac{x^3-a^3}{x^3}$.

Теперь умножим этот результат на третий множитель:

$\frac{x^3-a^3}{x^3} \cdot \frac{x^3}{a^3-x^3}$.

Вынесем знак минус из числителя первой дроби: $x^3-a^3 = -(a^3-x^3)$.

$\frac{-(a^3-x^3)}{x^3} \cdot \frac{x^3}{a^3-x^3}$.

Сокращаем одинаковые множители $x^3$ и $(a^3-x^3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-1 \cdot \cancel{(a^3-x^3)}}{\cancel{x^3}} \cdot \frac{\cancel{x^3}}{\cancel{a^3-x^3}} = -1$.

Ответ: $-1$.