Номер 6.103, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93–6.104 упростите выражения.

6.103. 1) $ \frac{a-2}{4a^2 + 16a + 16} : \left( \frac{a}{2a-4} - \frac{a^2+4}{2a^2-8} - \frac{2}{a^2+2a} \right) $

2) $ \left( \frac{a-x}{a^2+ax+x^2} - \frac{1}{a-x} \right) \left( \frac{2x+a}{a} + \frac{2a+x}{x} \right) $

1) Упростим выражение $ \frac{a-2}{4a^2+16a+16} : \left( \frac{a}{2a-4} - \frac{a^2+4}{2a^2-8} - \frac{2}{a^2+2a} \right) $ по действиям.

Сначала выполним действия в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$ 2a-4 = 2(a-2) $

$ 2a^2-8 = 2(a^2-4) = 2(a-2)(a+2) $

$ a^2+2a = a(a+2) $

Общий знаменатель для дробей в скобках равен $ 2a(a-2)(a+2) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{a}{2(a-2)} - \frac{a^2+4}{2(a-2)(a+2)} - \frac{2}{a(a+2)} = \frac{a \cdot a(a+2)}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{(a^2+4) \cdot a}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{2 \cdot 2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} $

Запишем все под общим знаменателем и упростим числитель:

$ \frac{a^2(a+2) - a(a^2+4) - 4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{a^3+2a^2 - a^3-4a - 4a+8}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{2a^2-8a+8}{2a(a-2)(a+2)} $

В числителе вынесем общий множитель 2 и применим формулу квадрата разности:

$ \frac{2(a^2-4a+4)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{2(a-2)^2}{2a(a-2)(a+2)} $

Сократим дробь на общий множитель $ 2(a-2) $:

$ \frac{a-2}{a(a+2)} $

Теперь выполним деление. Сначала преобразуем знаменатель первой дроби:

$ 4a^2+16a+16 = 4(a^2+4a+4) = 4(a+2)^2 $

Исходное выражение принимает вид:

$ \frac{a-2}{4(a+2)^2} : \frac{a-2}{a(a+2)} $

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

$ \frac{a-2}{4(a+2)^2} \cdot \frac{a(a+2)}{a-2} = \frac{1}{4(a+2)} \cdot \frac{a}{1} = \frac{a}{4(a+2)} $

Ответ: $ \frac{a}{4(a+2)} $

2) Упростим выражение $ \left( \frac{a-x}{a^2+ax+x^2} - \frac{1}{a-x} \right) \left( \frac{2x+a}{a} + \frac{2a+x}{x} \right) $ по действиям.

1. Упростим выражение в первой скобке. Общий знаменатель $ (a-x)(a^2+ax+x^2) $, что является формулой разности кубов $ a^3-x^3 $.

$ \frac{a-x}{a^2+ax+x^2} - \frac{1}{a-x} = \frac{(a-x)^2 - (a^2+ax+x^2)}{(a-x)(a^2+ax+x^2)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(a^2-2ax+x^2) - (a^2+ax+x^2)}{a^3-x^3} = \frac{a^2-2ax+x^2-a^2-ax-x^2}{a^3-x^3} = \frac{-3ax}{a^3-x^3} $

2. Упростим выражение во второй скобке. Общий знаменатель $ ax $.

$ \frac{2x+a}{a} + \frac{2a+x}{x} = \frac{(2x+a)x + (2a+x)a}{ax} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{2x^2+ax + 2a^2+ax}{ax} = \frac{2a^2+2ax+2x^2}{ax} = \frac{2(a^2+ax+x^2)}{ax} $

3. Перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2.

$ \left(\frac{-3ax}{a^3-x^3}\right) \cdot \left(\frac{2(a^2+ax+x^2)}{ax}\right) $

Подставим $ a^3-x^3 = (a-x)(a^2+ax+x^2) $:

$ \frac{-3ax}{(a-x)(a^2+ax+x^2)} \cdot \frac{2(a^2+ax+x^2)}{ax} $

Сократим общие множители $ ax $ и $ (a^2+ax+x^2) $:

$ \frac{-3}{a-x} \cdot 2 = \frac{-6}{a-x} $

Этот результат также можно записать как $ \frac{6}{x-a} $.

Ответ: $ \frac{-6}{a-x} $