Номер 6.102, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93-6.104 упростите выражения.

6.102.1) $\frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3(x-1)}{x^2-4} - \frac{3}{x-2}$;

2) $\left(\frac{a-1}{3a+(a-1)^2} - \frac{1-2a+a^2}{a^3-1} - \frac{1}{a-1}\right) : \frac{a^2+1}{1-a}$.

1) Исходное выражение: $ \frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3(x-1)}{x^2-4} - \frac{3}{x-2} $

Сначала выполним умножение дробей, предварительно разложив знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби является полным квадратом, а знаменатель второй дроби — разностью квадратов.

$ x^2-2x+1 = (x-1)^2 $

$ x^2-4 = (x-2)(x+2) $

Подставим разложенные многочлены в выражение и выполним умножение:

$ \frac{x+2}{(x-1)^2} \cdot \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2) \cdot 3(x-1)}{(x-1)^2 \cdot (x-2)(x+2)} $

Сократим общие множители $ (x+2) $ и $ (x-1) $:

$ \frac{3}{(x-1)(x-2)} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3}{x-2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x-1)(x-2) $. Для этого вторую дробь домножим на $ (x-1) $:

$ \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3 - 3(x-1)}{(x-1)(x-2)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ \frac{3 - 3x + 3}{(x-1)(x-2)} = \frac{6 - 3x}{(x-1)(x-2)} $

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$ \frac{3(2-x)}{(x-1)(x-2)} $

Заметим, что $ 2-x = -(x-2) $. Подставим это в числитель и сократим дробь:

$ \frac{-3(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3}{x-1} $

Ответ: $ \frac{-3}{x-1} $.

2) Исходное выражение: $ \left(\frac{a-1}{3a + (a-1)^2} - \frac{1-2a+a^2}{a^3-1} - \frac{1}{a-1}\right) : \frac{a^2+1}{1-a} $

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого преобразуем знаменатели и числители дробей.

Знаменатель первой дроби: $ 3a + (a-1)^2 = 3a + a^2 - 2a + 1 = a^2+a+1 $.

Числитель второй дроби: $ 1-2a+a^2 = (a-1)^2 $.

Знаменатель второй дроби (разность кубов): $ a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1) $.

Подставим преобразованные части в выражение в скобках:

$ \frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{(a-1)^2}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1}{a-1} $

Сократим вторую дробь на $ (a-1) $:

$ \frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{1}{a-1} $

Первые две дроби взаимно уничтожаются:

$ 0 - \frac{1}{a-1} = -\frac{1}{a-1} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ \left(-\frac{1}{a-1}\right) : \frac{a^2+1}{1-a} = \left(-\frac{1}{a-1}\right) \cdot \frac{1-a}{a^2+1} $

Заметим, что $ 1-a = -(a-1) $. Подставим это в выражение:

$ \left(-\frac{1}{a-1}\right) \cdot \frac{-(a-1)}{a^2+1} $

Произведение двух отрицательных чисел положительно, сократим $ (a-1) $:

$ \frac{1}{a-1} \cdot \frac{a-1}{a^2+1} = \frac{1}{a^2+1} $

Ответ: $ \frac{1}{a^2+1} $.