Номер 6.108, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.108. Упростите выражение:

1) $\frac{a+b}{ax+by} + \frac{a-b}{ax-by} + \frac{2(a^2x+b^2y)}{a^2x^2+b^2y^2} - \frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4};$

2) $(\frac{a^2+b^2}{ab}-2) : (\frac{2a^2+2ab}{a^2+2ab+b^2}-1) \cdot (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}).$

1) Упростим выражение последовательно, выполняя действия сложения и вычитания дробей.

Сначала сложим первые две дроби, приводя их к общему знаменателю $(ax+by)(ax-by)=a^2x^2-b^2y^2$.

$\frac{a+b}{ax+by} + \frac{a-b}{ax-by} = \frac{(a+b)(ax-by) + (a-b)(ax+by)}{a^2x^2-b^2y^2} = \frac{(a^2x-aby+abx-b^2y) + (a^2x+aby-abx-b^2y)}{a^2x^2-b^2y^2} = \frac{2a^2x-2b^2y}{a^2x^2-b^2y^2} = \frac{2(a^2x-b^2y)}{a^2x^2-b^2y^2}$.

Теперь к полученному результату прибавим третью дробь. Общий знаменатель будет $(a^2x^2-b^2y^2)(a^2x^2+b^2y^2) = a^4x^4-b^4y^4$.

$\frac{2(a^2x-b^2y)}{a^2x^2-b^2y^2} + \frac{2(a^2x+b^2y)}{a^2x^2+b^2y^2} = \frac{2(a^2x-b^2y)(a^2x^2+b^2y^2) + 2(a^2x+b^2y)(a^2x^2-b^2y^2)}{a^4x^4-b^4y^4}$.

Раскрыв скобки в числителе, получим: $2[(a^4x^3+a^2xb^2y^2-a^2x^2b^2y-b^4y^3) + (a^4x^3-a^2xb^2y^2+a^2x^2b^2y-b^4y^3)] = 2(2a^4x^3-2b^4y^3) = 4(a^4x^3-b^4y^3)$.

Таким образом, сумма первых трех слагаемых равна $\frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4}$.

Наконец, вычтем последнюю дробь из полученного выражения: $\frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4} - \frac{4(a^4x^3-b^4y^8)}{a^4x^4-b^4y^4} = \frac{4(a^4x^3-b^4y^3) - 4(a^4x^3-b^4y^8)}{a^4x^4-b^4y^4} = \frac{4a^4x^3-4b^4y^3-4a^4x^3+4b^4y^8}{a^4x^4-b^4y^4} = \frac{4b^4y^8-4b^4y^3}{a^4x^4-b^4y^4} = \frac{4b^4y^3(y^5-1)}{a^4x^4-b^4y^4}$.

Ответ: $\frac{4b^4y^3(y^5-1)}{a^4x^4-b^4y^4}$

2) Упростим выражение по частям. Сначала выполним действия в каждой из скобок.

Первая скобка: $\left(\frac{a^2+b^2}{ab} - 2\right) = \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}$.

Вторая скобка: $\left(\frac{2a^2+2ab}{a^2+2ab+b^2} - 1\right) = \frac{2a(a+b)}{(a+b)^2} - 1 = \frac{2a}{a+b} - 1 = \frac{2a-(a+b)}{a+b} = \frac{a-b}{a+b}$.

Третья скобка: $\left(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b}\right) = \frac{a-b+a+b}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{a^2-b^2}$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное и выполним деление и умножение слева направо: $\frac{(a-b)^2}{ab} : \frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{2a}{a^2-b^2}$.

Сначала деление: $\frac{(a-b)^2}{ab} : \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)^2}{ab} \cdot \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab} = \frac{a^2-b^2}{ab}$.

Затем умножение: $\frac{a^2-b^2}{ab} \cdot \frac{2a}{a^2-b^2} = \frac{(a^2-b^2) \cdot 2a}{ab \cdot (a^2-b^2)} = \frac{2a}{ab} = \frac{2}{b}$.

Ответ: $\frac{2}{b}$