Номер 6.113, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.113. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(3x^2 - 4y)^3$;

2) $(2a + b^2)^3$;

3) $(4m^3 - n^2)^2$.

1)Чтобы представить выражение $(3x^2 - 4y)^3$ в виде многочлена, используем формулу сокращенного умножения для куба разности: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$. В нашем случае $A = 3x^2$ и $B = 4y$.

Подставляем и вычисляем:

$(3x^2 - 4y)^3 = (3x^2)^3 - 3 \cdot (3x^2)^2 \cdot (4y) + 3 \cdot (3x^2) \cdot (4y)^2 - (4y)^3 = $

$= 27x^6 - 3 \cdot 9x^4 \cdot 4y + 9x^2 \cdot 16y^2 - 64y^3 = $

$= 27x^6 - 108x^4y + 144x^2y^2 - 64y^3$.

Ответ: $27x^6 - 108x^4y + 144x^2y^2 - 64y^3$.

2)Для выражения $(2a + b^2)^3$ применим формулу куба суммы: $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Здесь $A = 2a$ и $B = b^2$.

Подставляем в формулу и вычисляем:

$(2a + b^2)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot b^2 + 3 \cdot 2a \cdot (b^2)^2 + (b^2)^3 = $

$= 8a^3 + 3 \cdot 4a^2 \cdot b^2 + 6a \cdot b^4 + b^6 = $

$= 8a^3 + 12a^2b^2 + 6ab^4 + b^6$.

Ответ: $8a^3 + 12a^2b^2 + 6ab^4 + b^6$.

3)Для преобразования выражения $(4m^3 - n^2)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. В данном случае $A = 4m^3$ и $B = n^2$.

Подставляем и выполняем вычисления:

$(4m^3 - n^2)^2 = (4m^3)^2 - 2 \cdot 4m^3 \cdot n^2 + (n^2)^2 = $

$= 16m^6 - 8m^3n^2 + n^4$.

Ответ: $16m^6 - 8m^3n^2 + n^4$.