Номер 6.111, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.111. Упростите выражение:

1) $\frac{x - \frac{yz}{y-z}}{y - \frac{xz}{x-z}}$

2) $\frac{\frac{a-b}{c-b} - \frac{b+c}{a+b}}{\frac{a+b}{c-b} + \frac{b-c}{a+b}}$

1) Для упрощения данного выражения необходимо преобразовать числитель и знаменатель основной дроби, приведя их к общему знаменателю.

Преобразуем числитель: $x - \frac{yz}{y-z} = \frac{x(y-z)}{y-z} - \frac{yz}{y-z} = \frac{xy - xz - yz}{y-z}$.

Преобразуем знаменатель: $y - \frac{xz}{x-z} = \frac{y(x-z)}{x-z} - \frac{xz}{x-z} = \frac{xy - yz - xz}{x-z}$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде частного двух дробей: $\frac{\frac{xy - xz - yz}{y-z}}{\frac{xy - yz - xz}{x-z}}$.

Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь: $\frac{xy - xz - yz}{y-z} \cdot \frac{x-z}{xy - yz - xz}$.

Заметим, что числитель первой дроби и знаменатель второй дроби равны $(xy - xz - yz)$, поэтому их можно сократить: $\frac{\cancel{xy - xz - yz}}{y-z} \cdot \frac{x-z}{\cancel{xy - yz - xz}} = \frac{x-z}{y-z}$.

Ответ: $\frac{x-z}{y-z}$

2) Упростим числитель и знаменатель основной дроби по отдельности. Для этого в каждом из них приведем дроби к общему знаменателю.

Упрощение числителя: $\frac{a-b}{c-b} - \frac{b+c}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)}{(c-b)(a+b)} - \frac{(b+c)(c-b)}{(c-b)(a+b)}$.

Объединим дроби: $\frac{(a-b)(a+b) - (b+c)(c-b)}{(c-b)(a+b)}$.

Раскроем скобки в числителе: $(a^2 - b^2) - (c^2 - b^2) = a^2 - b^2 - c^2 + b^2 = a^2 - c^2$.

Таким образом, числитель основной дроби равен $\frac{a^2 - c^2}{(c-b)(a+b)}$.

Упрощение знаменателя: $\frac{a+b}{c-b} + \frac{b-c}{a+b}$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{(a+b)(a+b)}{(c-b)(a+b)} + \frac{(b-c)(c-b)}{(c-b)(a+b)}$.

Объединим дроби: $\frac{(a+b)^2 + (b-c)(c-b)}{(c-b)(a+b)}$.

Раскроем скобки в числителе. Заметим, что $(b-c)(c-b) = -(c-b)^2$. $(a+b)^2 - (c-b)^2$. Применим формулу разности квадратов $X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$: $((a+b) - (c-b))((a+b) + (c-b)) = (a+b-c+b)(a+b+c-b) = (a+2b-c)(a+c)$.

Таким образом, знаменатель основной дроби равен $\frac{(a+c)(a+2b-c)}{(c-b)(a+b)}$.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель: $\frac{\frac{a^2 - c^2}{(c-b)(a+b)}}{\frac{(a+c)(a+2b-c)}{(c-b)(a+b)}} = \frac{a^2 - c^2}{(c-b)(a+b)} \cdot \frac{(c-b)(a+b)}{(a+c)(a+2b-c)}$.

Сократим общий множитель $(c-b)(a+b)$: $\frac{a^2 - c^2}{(a+c)(a+2b-c)}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$: $\frac{(a-c)(a+c)}{(a+c)(a+2b-c)}$.

Сократим общий множитель $(a+c)$: $\frac{a-c}{a+2b-c}$.

Ответ: $\frac{a-c}{a+2b-c}$