Номер 6.109, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.109. Докажите тождество:

1) $ \frac{b-c}{(a-b)(a-c)} + \frac{c-a}{(b-c)(b-a)} + \frac{a-b}{(c-a)(c-b)} = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} + \frac{2}{c-a}; $

2) $ \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} = 1. $

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части к общему знаменателю и сравним полученные выражения.

Левая часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \frac{b-c}{(a-b)(a-c)} + \frac{c-a}{(b-c)(b-a)} + \frac{a-b}{(c-a)(c-b)}$

Преобразуем знаменатели, используя соотношения $b-a = -(a-b)$, $a-c = -(c-a)$ и $c-b = -(b-c)$, чтобы получить циклический порядок множителей $(a-b), (b-c), (c-a)$:

$ЛЧ = \frac{b-c}{-(a-b)(c-a)} + \frac{c-a}{-(b-c)(a-b)} + \frac{a-b}{-(c-a)(b-c)}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(a-b)(b-c)(c-a)$:

$ЛЧ = \frac{-(b-c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{-(c-a)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{-(a-b)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$ЛЧ = \frac{-(b-c)^2 - (c-a)^2 - (a-b)^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Раскроем квадраты в числителе:

$-(b^2 - 2bc + c^2) - (c^2 - 2ca + a^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = -b^2 + 2bc - c^2 - c^2 + 2ca - a^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Сгруппировав слагаемые, получим числитель:

$-2a^2 - 2b^2 - 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2(-a^2 - b^2 - c^2 + ab + bc + ca)$

Таким образом, левая часть равна:

$ЛЧ = \frac{2(-a^2 - b^2 - c^2 + ab + bc + ca)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Правая часть (ПЧ):

$ПЧ = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} + \frac{2}{c-a}$

Приведем к общему знаменателю $(a-b)(b-c)(c-a)$:

$ПЧ = \frac{2(b-c)(c-a) + 2(a-b)(c-a) + 2(a-b)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Рассмотрим числитель. Вынесем 2 за скобку и раскроем произведения:

$2 \cdot [ (bc - ab - c^2 + ac) + (ac - a^2 - bc + ab) + (ab - ac - b^2 + bc) ]$

Сгруппировав слагаемые внутри скобок, получим:

$2 \cdot [ -a^2 - b^2 - c^2 + (ab - ab + ab) + (bc - bc + bc) + (ac + ac - ac) ] = 2(-a^2 - b^2 - c^2 + ab + bc + ca)$

Таким образом, правая часть равна:

$ПЧ = \frac{2(-a^2 - b^2 - c^2 + ab + bc + ca)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Поскольку преобразованные левая и правая части тождества равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Обозначим левую часть тождества как функцию $L(x)$:

$L(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$

Выражение $L(x)$ является многочленом от переменной $x$. Поскольку в каждом слагаемом числитель является многочленом второй степени по $x$, а знаменатель — константа (при заданных $a, b, c$), то $L(x)$ — многочлен степени не выше второй. Данное выражение является интерполяционным многочленом Лагранжа.

Чтобы доказать, что $L(x)=1$ для всех $x$, достаточно показать, что это равенство выполняется для трех различных значений $x$. В качестве таких значений выберем $a, b, c$ (предполагая, что они попарно различны, иначе знаменатели некоторых дробей обращаются в ноль).

Найдем значение $L(x)$ при $x=a$:

$L(a) = \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)}$

Второе и третье слагаемые равны нулю, так как их числители содержат множитель $(a-a)=0$. Первое слагаемое равно 1.

$L(a) = 1 + 0 + 0 = 1$

Найдем значение $L(x)$ при $x=b$:

$L(b) = \frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)}$

Первое и третье слагаемые равны нулю, так как их числители содержат множитель $(b-b)=0$. Второе слагаемое равно 1.

$L(b) = 0 + 1 + 0 = 1$

Найдем значение $L(x)$ при $x=c$:

$L(c) = \frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(c-c)(c-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)}$

Первое и второе слагаемые равны нулю, так как их числители содержат множитель $(c-c)=0$. Третье слагаемое равно 1.

$L(c) = 0 + 0 + 1 = 1$

Таким образом, многочлен $L(x)$ принимает значение 1 в трех различных точках $a, b, c$. Рассмотрим многочлен $Q(x) = L(x) - 1$. Степень $Q(x)$ также не выше второй. Мы показали, что $Q(a)=Q(b)=Q(c)=0$. Многочлен степени не выше второй, имеющий три различных корня, может быть только тождественно равным нулю, то есть $Q(x)=0$ для всех $x$.

Следовательно, $L(x) - 1 = 0$, или $L(x) = 1$ для всех значений $x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.