Номер 6.105, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.105. Докажите тождество:

1) $\frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2};$

2) $\frac{a^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2b}{a^2+b^2} \cdot \left( \frac{a}{ab+b^2} + \frac{b}{a^2+ab} \right) = \frac{ab}{a^2-b^2}.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

Сначала преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(a-b)(a+b)$:

$\frac{(a+b)(a+b)}{2(a-b)(a+b)} - \frac{(a-b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}$

В числителе применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, где $x=a+b$ и $y=a-b$, или раскроем скобки. Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Числитель примет вид:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, тогда знаменатель равен $2(a^2-b^2)$.

Таким образом, левая часть равна:

$ЛЧ = \frac{4ab}{2(a^2-b^2)} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):

$ПЧ = \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$ПЧ = \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{(a-b)(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b^2-ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{b(a+b) - (b^2-ab)}{(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе:

$ab + b^2 - b^2 + ab = 2ab$

Таким образом, правая часть равна:

$ПЧ = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$

Так как $ЛЧ = ПЧ = \frac{2ab}{a^2-b^2}$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ) до тех пор, пока она не станет равна правой части (ПЧ).

$ЛЧ = \frac{a^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2b}{a^2+b^2} \cdot \left( \frac{a}{ab+b^2} + \frac{b}{a^2+ab} \right)$

Сначала выполним действия в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$ab+b^2 = b(a+b)$

$a^2+ab = a(a+b)$

Сумма в скобках примет вид:

$\frac{a}{b(a+b)} + \frac{b}{a(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab(a+b)$:

$\frac{a \cdot a}{ab(a+b)} + \frac{b \cdot b}{ab(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть:

$ЛЧ = \frac{a^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2b}{a^2+b^2} \cdot \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)}$

Выполним умножение дробей, сократив общий множитель $(a^2+b^2)$:

$\frac{a^2b}{a^2+b^2} \cdot \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} = \frac{a^2b}{ab(a+b)}$

Сократим полученную дробь на $ab$:

$\frac{a \cdot ab}{ab(a+b)} = \frac{a}{a+b}$

Теперь левая часть выглядит так:

$ЛЧ = \frac{a^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и приведем к общему знаменателю:

$ЛЧ = \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{a^2 - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - a^2 + ab}{a^2-b^2} = \frac{ab}{a^2-b^2}$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью тождества:

$ЛЧ = \frac{ab}{a^2-b^2} = ПЧ$

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.