Номер 6.100, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93-6.104 упростите выражения.

6.100. 1) $(\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2+n^2+2an}) : (\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2-n^2});$

2) $(\frac{2x^2+x}{x^3-1} - \frac{x+1}{x^2+x+1}) \cdot (1 + \frac{x+1}{x} - \frac{x+5}{x+1}).$

1) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в первых скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $a^2+n^2+2an$ является полным квадратом $(a+n)^2$.

$\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2+n^2+2an} = \frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{(a+n)^2}$

Общий знаменатель – $(a+n)^2$.

$\frac{a^2(a+n)}{(a+n)^2} - \frac{a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2(a+n) - a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^3+a^2n-a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2n}{(a+n)^2}$.

Теперь упростим выражение во вторых скобках. Знаменатель второй дроби $a^2-n^2$ является разностью квадратов $(a-n)(a+n)$.

$\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2-n^2} = \frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)}$

Общий знаменатель – $(a-n)(a+n)$.

$\frac{a(a-n)}{(a-n)(a+n)} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a(a-n) - a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2-an-a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{-an}{(a-n)(a+n)}$.

Наконец, выполним деление результатов:

$\frac{a^2n}{(a+n)^2} : \frac{-an}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2n}{(a+n)^2} \cdot \frac{(a-n)(a+n)}{-an}$

Сократим общие множители $an$ и $(a+n)$:

$\frac{a \cdot \color{red}an \color{black} \cdot (a-n)\color{blue}(a+n)}{\color{blue}(a+n)\color{black}(a+n) \cdot (-\color{red}an\color{black})} = \frac{a(a-n)}{-(a+n)} = -\frac{a(a-n)}{a+n} = \frac{a(n-a)}{a+n}$.

Ответ: $\frac{a(n-a)}{a+n}$.

2) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в первых скобках. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов: $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$.

$\frac{2x^2+x}{x^3-1} - \frac{x+1}{x^2+x+1} = \frac{2x^2+x}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{x+1}{x^2+x+1}$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x^2+x+1)$:

$\frac{2x^2+x}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{2x^2+x - (x^2-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{2x^2+x-x^2+1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}$

Сократив дробь на $(x^2+x+1)$, получим:

$\frac{1}{x-1}$.

Теперь упростим выражение во вторых скобках. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x(x+1)$:

$1 + \frac{x+1}{x} - \frac{x+5}{x+1} = \frac{x(x+1)}{x(x+1)} + \frac{(x+1)^2}{x(x+1)} - \frac{x(x+5)}{x(x+1)}$

Объединим дроби и раскроем скобки в числителе:

$\frac{x(x+1) + (x+1)^2 - x(x+5)}{x(x+1)} = \frac{(x^2+x) + (x^2+2x+1) - (x^2+5x)}{x(x+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2+x^2-x^2+x+2x-5x+1}{x(x+1)} = \frac{x^2-2x+1}{x(x+1)}$

Свернем числитель по формуле квадрата разности:

$\frac{(x-1)^2}{x(x+1)}$.

Наконец, перемножим результаты, полученные для каждой из скобок:

$\left( \frac{1}{x-1} \right) \cdot \left( \frac{(x-1)^2}{x(x+1)} \right) = \frac{(x-1)^2}{(x-1)x(x+1)}$

Сократим дробь на $(x-1)$:

$\frac{x-1}{x(x+1)}$.

Ответ: $\frac{x-1}{x(x+1)}$.